NEW!ζ(2)のような総和
\[
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k^{2}+1}=?
\]
NEW!定数係数隣接3項間線形非同次漸化式
\[
pa_{n+2}+qa_{n+1}+ra_{n}=s
\]
NEW!定数係数隣接3項間線形(同次・非同次)漸化式
\[
pa_{n+2}+qa_{n+1}+ra_{n}=f\left(x\right)
\]
NEW!方べきの定理
\[
\left|PA_{1}\right|\left|PA_{2}\right|=\left|OP\right|^{2}-r^{2}
\]
円周角の定理とその逆とタレスの定理
\[
\angle BOA=2\angle BPA
\]
面積ベクトルと角度の符号
\[
\overrightarrow{\triangle ABC}:=\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BA}
\]
連分数の収束子の奇偶性
\[
\frac{p_{2k}}{q_{2k}}<\frac{p_{2\left(k+1\right)}}{q_{2\left(k+1\right)}}
\]
連分数と最大公約数
\[
\gcd\left(p_{n},q_{n}\right)=1
\]
無限連分数の収束条件
\[
\left[a_{0};a_{1},a_{2},\cdots\right]<\infty\Leftrightarrow\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}=\infty
\]
連分数の収束子と漸化式
\[
\frac{p_{n}}{q_{n}}=a_{0}+\sum_{k=1}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{q_{k}q_{k-1}}\prod_{j=0}^{k-1}b_{j}
\]
(*)簡単な連分数展開
\[
\left[x;x,x,\cdots\right]=\frac{1}{2}\left(x+\sqrt{x^{2}+4}\right)
\]
連分数の性質
\[
\left[\left(a_{0},b_{0}\right);\left(a_{1},b_{1}\right),\cdots,a_{n}+c\right]=\left[\left(a_{0},b_{0}\right);\left(a_{1},b_{1}\right),\cdots,\left(a_{n},b_{n}\right),\frac{b_{n}}{c}\right]
\]
連分数の定義
\[
\left[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots\right]:=a_{0}+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{a_{2}+\frac{1}{a_{3}+\cdots}}}
\]
[2025年京都大学・数学第2問]整数問題
$x,y,z\in\mathbb{N},N=9z^{2}=x^{6}+y^{4}$で表される自然数$N$の最小値。
[2023年藤田医科大学・数学問題2]ルートの中に逆数の定積分
\[
\int_{1}^{3}\sqrt{\frac{4}{x}-1}dx=?
\]
数列の極限での大小関係
\[
a_{n}<b_{n}\Rightarrow a\leq b
\]
ベータ関数・不完全ベータ関数の超幾何関数表示
\[
B\left(z;\alpha,\beta\right)=\frac{z^{\alpha}}{\alpha}F\left(\alpha,1-\beta;\alpha+1;z\right)
\]
不完全ベータ関数の性質
\[
B\left(z;\alpha,1\right)=\frac{z^{\alpha}}{\alpha}
\]
ベータ関数の特殊値
\[
B\left(\alpha,1\right)=\frac{1}{\alpha}
\]
不完全ベータ関数の漸化式
\[
B\left(z;\alpha+1,\beta\right)=\frac{1}{\alpha+\beta}\left(\alpha B\left(z;\alpha,\beta\right)-z^{\alpha}\left(1-z\right)^{\beta}\right)
\]
ベータ関数と不完全ベータ関数の関係
\[
B\left(z;\alpha,\beta\right)+B\left(1-z;\beta,\alpha\right)=B\left(\alpha,\beta\right)
\]
ベータ関数の対称性
\[
B\left(\alpha,\beta\right)=B\left(\beta,\alpha\right)
\]
ベータ関数・不完全ベータ関数・正則ベータ関数の定義
\[
B\left(\alpha,\beta\right)=\int_{0}^{1}t^{\alpha-1}\left(1-t\right)^{\beta-1}dt
\]
一般ヴァンデルモンドの畳み込み定理
\[
\sum_{k_{1}+\cdots+k_{p}=m}\prod_{j=1}^{p}C\left(n_{j},k_{j}\right)=C\left(\sum_{j=1}^{p}n_{j},m\right)
\]
超幾何関数のオイラー積分表示と超幾何定理とヴァンデルモンドの恒等式
\[
F\left(a,b;c;1\right)=\frac{\Gamma\left(c\right)\Gamma\left(c-a-b\right)}{\Gamma\left(c-a\right)\Gamma\left(c-b\right)}
\]
正弦と余弦のべき乗の積の積分の超幾何関数表示
\[
\int\sin^{\alpha}\left(x\right)\cos^{\beta}\left(x\right)dx=\frac{\cos^{\beta-1}}{\left(\cos^{2}\left(x\right)\right)^{\frac{\beta-1}{2}}}\frac{\sin^{\alpha+1}\left(x\right)}{\alpha+1}F\left(\frac{1-\beta}{2},\frac{\alpha+1}{2};\frac{\alpha+3}{2};\sin^{2}\left(x\right)\right)+C
\]