連分数 2025年9月3日 NEW!無限連分数の収束条件 \[ \left[a_{0};a_{1},a_{2},\cdots\right]<\infty\Leftrightarrow\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}=\infty \]
連分数 2025年9月2日 NEW!連分数の収束子と漸化式 \[ \frac{p_{n}}{q_{n}}=a_{0}+\sum_{k=1}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{q_{k}q_{k-1}}\prod_{j=0}^{k-1}b_{j} \]
連分数 2025年9月1日 NEW!(*)簡単な連分数展開 \[ \left[x;x,x,\cdots\right]=\frac{1}{2}\left(x+\sqrt{x^{2}+4}\right) \]
連分数 2025年8月29日 NEW!連分数の性質 \[ \left[\left(a_{0},b_{0}\right);\left(a_{1},b_{1}\right),\cdots,a_{n}+c\right]=\left[\left(a_{0},b_{0}\right);\left(a_{1},b_{1}\right),\cdots,\left(a_{n},b_{n}\right),\frac{b_{n}}{c}\right] \]
連分数 2025年8月28日 NEW!連分数の定義 \[ \left[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots\right]:=a_{0}+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{a_{2}+\frac{1}{a_{3}+\cdots}}} \]
ベータ関数 2025年8月21日 ベータ関数・不完全ベータ関数の超幾何関数表示 \[ B\left(z;\alpha,\beta\right)=\frac{z^{\alpha}}{\alpha}F\left(\alpha,1-\beta;\alpha+1;z\right) \]
ベータ関数 2025年8月18日 不完全ベータ関数の漸化式 \[ B\left(z;\alpha+1,\beta\right)=\frac{1}{\alpha+\beta}\left(\alpha B\left(z;\alpha,\beta\right)-z^{\alpha}\left(1-z\right)^{\beta}\right) \]
ベータ関数 2025年8月15日 ベータ関数と不完全ベータ関数の関係 \[ B\left(z;\alpha,\beta\right)+B\left(1-z;\beta,\alpha\right)=B\left(\alpha,\beta\right) \]
ベータ関数 2025年8月13日 ベータ関数・不完全ベータ関数・正則ベータ関数の定義 \[ B\left(\alpha,\beta\right)=\int_{0}^{1}t^{\alpha-1}\left(1-t\right)^{\beta-1}dt \]
2項係数 2025年8月12日 一般ヴァンデルモンドの畳み込み定理 \[ \sum_{k_{1}+\cdots+k_{p}=m}\prod_{j=1}^{p}C\left(n_{j},k_{j}\right)=C\left(\sum_{j=1}^{p}n_{j},m\right) \]
超幾何関数 2025年8月8日 超幾何関数のオイラー積分表示と超幾何定理とヴァンデルモンドの恒等式 \[ F\left(a,b;c;1\right)=\frac{\Gamma\left(c\right)\Gamma\left(c-a-b\right)}{\Gamma\left(c-a\right)\Gamma\left(c-b\right)} \]
3角関数 2025年8月7日 正弦と余弦のべき乗の積の積分の超幾何関数表示 \[ \int\sin^{\alpha}\left(x\right)\cos^{\beta}\left(x\right)dx=\frac{\cos^{\beta-1}}{\left(\cos^{2}\left(x\right)\right)^{\frac{\beta-1}{2}}}\frac{\sin^{\alpha+1}\left(x\right)}{\alpha+1}F\left(\frac{1-\beta}{2},\frac{\alpha+1}{2};\frac{\alpha+3}{2};\sin^{2}\left(x\right)\right)+C \]
3角関数 2025年8月6日 3角関数のべき乗の積分の超幾何関数表示 \[ \int\sin^{\alpha}\left(x\right)dx=\frac{\sin^{\alpha+1}\left(x\right)}{\alpha+1}F\left(\frac{1}{2},\frac{\alpha+1}{2};\frac{\alpha+3}{2};\sin^{2}\left(x\right)\right)+C \]
超幾何関数 2025年8月5日 一般化超幾何関数の微分と積分 \[ \frac{d}{dx}F\left(\boldsymbol{a};\boldsymbol{b};x\right)=\frac{\prod_{i=1}^{\dim\boldsymbol{a}}a_{i}}{\prod_{j=1}^{\dim\boldsymbol{b}}b_{j}}F\left(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{1};\boldsymbol{b}+\boldsymbol{1};x\right) \]
超幾何関数 2025年7月31日 超幾何微分方程式(ガウスの微分方程式)の解 \[ x\left(1-x\right)y''\left(x\right)+\left(c-\left(a+b+1\right)x\right)y'\left(x\right)-aby\left(x\right)=0 \]
超幾何関数 2025年7月29日 合流型超幾何微分方程式の解 \[ xy''\left(x\right)+\left(b-x\right)y'\left(x\right)-ay\left(x\right)=0 \]
超幾何関数 2025年7月28日 簡単な関数を上昇階乗とべき乗を使って表す \[ ak+b=b\frac{Q\left(\frac{b}{a}+1,k\right)}{Q\left(\frac{b}{a},k\right)} \]
階乗冪 2025年7月27日 上昇階乗・下降階乗の微分と極限 \[ \frac{d}{dx}Q\left(x,y\right)=Q\left(x,y\right)\left\{ \psi\left(x+y\right)-\psi\left(x\right)\right\} \]
大学入試問題 2025年7月27日 [2025年京都大学・数学第1問]簡単な定積分 \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}dx=? \]