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論理+数式

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ベル数

2025年7月18日

NEW!ベル数の指数型母関数

\[ \sum_{k=0}^{\infty}B\left(k\right)\frac{x^{k}}{k!}=e^{e^{x}-1} \]

ベル数

2025年7月17日

NEW!ベル数の漸化式

\[ B\left(n+1\right)=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)B\left(k\right) \]

ベル数

2025年7月16日

NEW!ベル数の定義

\[ B\left(n,k\right)=\sum_{j=0}^{k}S_{2}\left(n,j\right) \]

微分積分

2025年7月15日

NEW!xDの冪乗の性質

\[ \left(x\frac{d}{dx}\right)^{n}e^{x}=e^{x}\sum_{k=0}^{\infty}S_{2}\left(n,k\right)x^{k} \]

スターリング数

2025年7月13日

NEW!冪乗和と第2種スターリング数の関係

\[ \sum_{k=0}^{n}k^{m}x^{k}=\sum_{k=0}^{m}S_{2}\left(m,k\right)x^{k}\frac{d^{k}}{dx^{k}}\left(\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\right) \]

スターリング数

2025年7月11日

微分演算子とスターリング数

\[ x^{n}\frac{d^{n}}{dx^{n}}=\sum_{k=0}^{\infty}S_{1}\left(n,k\right)\left(x\frac{d}{dx}\right)^{k} \]

分割数

2025年7月10日

最大個数制限付きの分割数の漸化式

\[ p_{1}\left(n,k,m\right)=p_{1}\left(n,k-1,m\right)+p_{1}\left(n-k,k,m\right)-p_{1}\left(n-k-m,k-1,m\right) \]

分割数

2025年7月9日

分割数の簡単な値

\[ p\left(n,2\right)=1+\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor \]

分割数

2025年7月8日

分割数の漸化式

\[ p\left(n,k\right)=p\left(n,k-1\right)+p\left(n-k,k\right) \]

分割数

2025年7月7日

空箱あり・なしの分割数の定義

\[ q\left(n,k\right)=p\left(n-k,k\right) \]

論理問題

2025年7月6日

地上と地下、早いのはどちら?

引っ掛け問題

2025年7月5日

不正をされていることに気づいている

積分問題

2025年7月4日

床関数を含む積分です

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\left\lfloor \tan x\right\rfloor }{\tan x}dx=? \]

論理問題

2025年7月3日

2本の紐を燃やして時間を計る

2本の紐を燃やして時間を計るにはどうすればいい?

論理問題

2025年7月2日

12個の箱に2枚のコイン

順番に箱を開けていくとき、どちらが有利でしょうか?

レヴィチヴィタ・イプシロン

2025年7月1日

3階のエディントン・イプシロンの性質

\[ \epsilon_{ijk}=\det\left(\begin{array}{ccc} \delta_{1i} & \delta_{1j} & \delta_{1k}\\ \delta_{2i} & \delta_{2j} & \delta_{2k}\\ \delta_{3i} & \delta_{3j} & \delta_{3k} \end{array}\right) \]

レヴィチヴィタ・イプシロン

2025年6月30日

レヴィ・チヴィタ・イプシロンの定義

\[ \epsilon_{ijk}=\begin{cases} +1 & even\\ -1 & odd\\ 0 & etc \end{cases} \]

大学入試問題

2025年6月29日

[2022年慶應義塾大学医学部数学第1問] 因数分解

$x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$を因数分解せよ。

大学入試問題

2025年6月28日

[2007年埼玉医科大学・数学]定積分

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{1+\sqrt{3}\tan x}dx=? \]

ベクトル解析

2025年6月27日

直交曲線座標でのナブラ演算子・回転・発散・ラプラシアン

\[ \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}=\frac{1}{h}\sum_{i}\frac{\partial}{\partial q_{i}}\frac{A_{i}h}{h_{i}} \]

ベクトル解析

2025年6月26日

直交曲線座標での単位基底ベクトルの回転・発散

\[ \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{u}_{i}=\frac{1}{hh_{i}}\frac{\partial}{\partial q_{i}}h-\frac{1}{h_{i}^{2}}\frac{\partial}{\partial q_{i}}h_{i} \]

ベクトル解析

2025年6月25日

直交曲線座標での性質

\[ h_{i}\boldsymbol{\nabla}q_{i}=\frac{1}{h_{i}}\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial q_{i}} \]

ベクトル解析

2025年6月24日

スケール因子・微小線素と単位基底ベクトル・ベクトルの成分同士の関係

\[ \boldsymbol{u}_{i}=\frac{1}{h_{i}}\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial q_{i}} \]

ベクトル解析

2025年6月23日

勾配の方向と方向微分

\[ \nabla_{\boldsymbol{v}}f\left(\boldsymbol{r}\right):=\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\nabla}f \]

ベクトル解析

2025年6月20日

ストークスの定理とガウスの発散定理

\[ \iiint_{V}\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}dV=\iint_{S}\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{S} \]

ベクトル解析

2025年6月19日

ナブラ演算子・勾配・発散・回転・ラプラシアンの定義

\[ \boldsymbol{\nabla}:=\boldsymbol{e}_{i}\partial_{i} \]

ベクトル解析

2025年6月18日

アインシュタインの和の既約

解析学

2025年6月17日

合成関数の導関数・偏導関数

\[ \frac{df}{dt}=\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{k}}\frac{dx_{k}}{dt} \]

解析学

2025年6月16日

偏微分の順序交換(シュワルツの定理)

\[ \frac{\partial^{2}f\left(x,y\right)}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2}f\left(x,y\right)}{\partial y\partial x} \]

解析学

2025年6月13日

C1級・全微分可能・偏微分可能・連続の関係

\[ C^{1}\text{級}\Rightarrow\text{全微分可能}\Rightarrow\text{偏微分可能} \]
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