写像 2025年6月5日 NEW!写像の標準分解 \[ f:X\stackrel{f'}{\longrightarrow}X/R_{f}\stackrel{g}{\longrightarrow}\ran\left(f\right)\stackrel{I_{g}}{\longrightarrow}Y \]
解析学 2025年6月3日 NEW!連続関数同士の合成関数は連続 \[ \lim_{x\rightarrow x_{0}}f\left(g\left(x\right)\right)=f\left(g\left(x_{0}\right)\right) \]
クロネッカーのデルタ 2025年6月2日 NEW!クロネッカーのデルタを含む総和 \[ \sum_{j=0}^{n}\delta_{kj}=1-\sum_{j=0}^{k-1}\delta_{nj} \]
ゼータ関数 2025年5月30日 リーマン・ゼータ関数の等式(解析接続) \[ \zeta\left(s\right)=1+\sum_{j=0}^{\infty}C\left(-s,j\right)\zeta\left(s+j\right) \]
ゼータ関数 2025年5月29日 リーマン・ゼータ関数の解析接続による非負整数値 \[ \zeta\left(-n\right)=\left(-1\right)^{n}\frac{B_{n+1}}{n+1} \]
ゼータ関数 2025年5月28日 リーマン・ゼータ関数の微分の極限 \[ \lim_{x\rightarrow0}x^{n+1}\zeta^{\left(n\right)}\left(1\pm x\right)=\pm\left(-1\right)^{n}n! \]
ゼータ関数 2025年5月26日 フルヴィッツ・ゼータ関数の乗法定理 \[ n^{s}\zeta\left(s,nz\right)=\sum_{k=0}^{n-1}\zeta\left(s,z+\frac{k}{n}\right) \]
総和・総乗 2025年5月24日 総和・総乗・積分の順序反転逆演算 \[ \sum_{k=a}^{b}f\left(k\right)=-\sum_{k=b+1}^{a-1}f\left(k\right) \]
調和数・一般化調和数 2025年5月22日 調和数の相反公式 \[ H_{1-z}-H_{z}=\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right)+\frac{1}{1-z}-\frac{1}{z} \]
調和数・一般化調和数 2025年5月21日 調和数の2項係数展開 \[ H_{z}=\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k-1}\frac{1}{k}C\left(z,k\right) \]
調和数・一般化調和数 2025年5月20日 調和数・一般化調和数の乗法公式 \[ H_{nz,m}=\frac{n^{m-1}-1}{n^{m-1}}\zeta\left(m\right)+\frac{1}{n^{m}}\sum_{k=0}^{n-1}H_{z+\frac{k}{n},m} \]
ガンマ関数 2025年5月19日 ポリガンマ(ディガンマ)関数の乗法公式 \[ \psi^{\left(m\right)}\left(nz\right)=\delta_{0,m}\log n+\frac{1}{n^{m+1}}\sum_{k=0}^{n-1}\psi^{\left(m\right)}\left(z+\frac{k}{n}\right) \]
調和数・一般化調和数 2025年5月16日 調和数・一般化調和数のn回微分とテーラー展開 \[ \frac{d^{n}H_{z,\alpha}}{dz^{n}}=\zeta\left(\alpha\right)\delta_{0n}+\left(-1\right)^{n+1}Q\left(\alpha,n\right)\left(\zeta\left(\alpha+n\right)-H_{z,\alpha+n}\right) \]
調和数・一般化調和数 2025年5月14日 一般化調和数の特殊値 \[ H_{\frac{1}{2},z}=2^{z}-\left(2^{z}-2\right)\zeta\left(z\right) \]
大学入試問題 2025年5月6日 [2021年福島大学・前期]因数分解 $\left(x-3\right)\left(x-5\right)\left(x-7\right)\left(x-9\right)-9$を因数分解せよ。
大学入試問題 2025年5月3日 [2023年滋賀医科大学・数学第4問]関数方程式 \[ f\left(x\right)=1+\int_{0}^{x}e^{t}\left(1+t\right)f\left(t\right)dt,f\left(x\right)=? \]
総和総乗問題 2025年5月1日 ベータ関数の逆数を含む総和 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=0}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k}}{B\left(n-k+1,k+1\right)\left(2k+1\right)}=? \]