NEW!ノルムの同値性の定義と性質
\[
c_{1}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{A}\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{B}\leq c_{2}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{A}
\]
NEW!ノルム空間のノルム・和・スカラー倍の連続性
\[
\lim_{k\rightarrow\infty}\boldsymbol{x}_{k}=\boldsymbol{x}\Rightarrow\lim_{k\rightarrow\infty}\left\Vert \boldsymbol{x}_{k}\right\Vert =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert
\]
NEW!ノルム空間のコーシー列・収束列・有界列の定義
\[
\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},N\leq n\rightarrow\left\Vert x_{n}-x\right\Vert <\epsilon
\]
NEW!行列を挟んでいる場合の解
\[
XAX=B\Rightarrow X=A^{-\frac{1}{2}}\left(A^{\frac{1}{2}}BA^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}A^{-\frac{1}{2}}
\]
Woodburyの恒等式
\[
\left(A+BCD\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}B\left(C^{-1}+DA^{-1}B\right)^{-1}DA^{-1}
\]
同時対角化可能と可換性
行列$A,B$が共に対角化可能であるとき、$AB=BA$であることと、$A$と$B$が同時対角化可能であることは同値である。
階数・像・核と線形写像・行列との関係
\[
\rank A=\dim\im A
\]
巡回行列の定義と性質
\[
C=\left(\begin{array}{cccccc}
x_{0} & x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n-2} & x_{n-1}\\
x_{n-1} & x_{0} & x_{1} & \cdots & x_{n-3} & x_{n-2}\\
x_{n-2} & x_{n-1} & x_{0} & \cdots & x_{n-4} & x_{n-3}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
x_{2} & x_{3} & x_{4} & \cdots & x_{0} & x_{1}\\
x_{1} & x_{2} & x_{3} & \cdots & x_{n-1} & x_{0}
\end{array}\right)
\]
行列の定値性(正定値・半正定値・負定値・半負定値・不定値)の定義と性質
\[
0<\left\langle H\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle
\]
グラム行列の定義と性質
\[
G\left(A\right)=A^{*}A
\]
ヒルベルト空間の凸射影定理と直交射影定理
\[
H=A\oplus A^{\perp}
\]
直交補空間の性質
\[
\left(X+Y\right)^{\perp}=X^{\perp}\cap Y^{\perp}
\]
行列式と行・列の入れ替え
\[
\det\left(\boldsymbol{a}_{\tau\left(1\right)},\boldsymbol{a}_{\tau\left(2\right)},\cdots,\boldsymbol{a}_{\tau\left(n\right)}\right)=\sgn\left(\tau\right)\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)
\]
不変部分空間の定義と性質
\[
f\left(W\right)\subseteq W
\]
ベクトル空間の和・直和・和集合・積集合・直積の定義と基本性質
\[
V_{1}+V_{2}=\left\{ \boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2};\boldsymbol{v}_{1}\in V,\boldsymbol{v}_{2}\in V\right\}
\]
内積の連続性
\[
\lim_{k\rightarrow\infty}\left\langle \boldsymbol{x}_{k},\boldsymbol{y}_{k}\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle
\]
ユニタリ変換の定義と性質
\[
\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle
\]
計量を保つ写像・計量同型写像・等長写像・等長同型写像の定義と性質
\[
\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle _{V}=\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle _{W}
\]
グラム・シュミットの直交化
\[
\boldsymbol{b}_{m}=\frac{\boldsymbol{b}'_{m}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{m}\right\Vert },\boldsymbol{b}'_{m}=\boldsymbol{a}_{m}-\sum_{k=1}^{m-1}\left\langle \boldsymbol{a}_{m},\frac{\boldsymbol{b}'_{k}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert }\right\rangle \frac{\boldsymbol{b}'_{k}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert }
\]
正規直交基底での内積
\[
\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle =\sum_{k=1}^{n}x_{k}\overline{y_{k}}
\]
直交・直交直和・直交補空間・直交基底・正規直交基底の定義
\[
W^{\bot}=\left\{ \boldsymbol{x}\in V;\forall\boldsymbol{y}\in W,\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle =0\right\}
\]
標準エルミート内積と標準内積
\[
\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle =\sum_{k=1}^{n}x_{k}\overline{y_{k}}
\]
0ベクトルとの内積
\[
\left\langle \boldsymbol{0},\boldsymbol{x}\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{0}\right\rangle =0
\]
パーセバルの等式
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \right|^{2}=\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}
\]
ベッセルの不等式
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \right|^{2}\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}
\]
(*)完全正規直交系と同値な条件
\[
\forall\boldsymbol{x}\in H,\boldsymbol{x}=\sum_{k}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \boldsymbol{e}_{k}
\]
バナッハ空間とヒルベルト空間の定義
完備なノルム空間をバナッハ空間という。
直交系・正規直交系・完全正規直交系の定義
\[
\forall k,\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle =0\rightarrow\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}
\]