NEW!ベッセルの不等式
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \right|^{2}\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}
\]
NEW!(*)完全正規直交系と同値な条件
\[
\forall\boldsymbol{x}\in H,\boldsymbol{x}=\sum_{k}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \boldsymbol{e}_{k}
\]
NEW!バナッハ空間とヒルベルト空間の定義
完備なノルム空間をバナッハ空間という。
NEW!直交系・正規直交系・完全正規直交系の定義
\[
\forall k,\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle =0\rightarrow\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}
\]
アフィン変換・正則アフィン変換・合同変換の定義
\[
f:K^{n}\rightarrow K^{n},\boldsymbol{x}\mapsto A\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}
\]
ノルム空間・中線定理・内積空間の関係
\[
\text{ノルム空間}+\text{中線定理}\Leftrightarrow\text{内積空間}
\]
コーシー・シュワルツの不等式
\[
\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right|\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert
\]
内積空間の定義
\[
\left(V,\left\langle \cdot,\cdot\right\rangle \right)
\]
ノルム空間ならば距離空間
\[
d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert
\]
ノルム・半ノルムの性質
\[
0\leq\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert
\]
ノルム空間(ノルム線形空間)と半ノルム空間(半ノルム線形空間)の定義
\[
\left(V,\left\Vert \bullet\right\Vert \right)
\]
ベクトル空間と双対空間で恒等的に零となる式
\[
\exists\phi\in V^{*},\forall\boldsymbol{x}\in V,\phi\left(\boldsymbol{x}\right)=0\Leftrightarrow\phi=0_{V^{*}}
\]
双対写像の性質
線形写像$f$の表現行列が$A$ならば、双対写像$f^{*}$の表現行列は転置行列$A^{T}$となる。
双対写像の定義
\[
f^{*}:W^{*}\rightarrow V^{*},\phi\mapsto f^{*}\left(\phi\right)=\phi\circ f
\]
双対基底の定義と性質
\[
\boldsymbol{x}=\sum_{k=1}^{n}\boldsymbol{v}^{k}\left(\boldsymbol{x}\right)\boldsymbol{v}_{k}
\]
双対空間の定義と性質
\[
V^{*}=\hom_{K}\left(V,K\right)
\]
線形写像全体のなす集合の定義
\[
\hom_{K}\left(V,W\right)
\]
ベクトル空間の次元と同型の関係
\[
\dim V=\dim W<\infty\Rightarrow V\simeq W
\]
ベクトル空間の準同型定理
\[
V/\ker f\simeq\im f
\]
ベクトル空間の商写像
\[
f:V\rightarrow V/N;\boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{x}+N
\]
商空間(商ベクトル空間)の定義と性質
\[
V/N=\left\{ \boldsymbol{x}+N;\boldsymbol{x}\in V\right\}
\]
ベクトル空間での剰余集合での和集合・積集合・差集合・対称差の演算
\[
\left(A\cup B\right)/C=\left(A/C\right)\cup\left(B/C\right)
\]
商集合と商類の性質
\[
A+\left\{ C\right\} =\left\{ C\right\} +A
\]
ベクトル空間での平行移動と集合の和と商集合の違い
\[
\left\{ \boldsymbol{a}+B;\boldsymbol{a}\in A\right\} =A/B
\]
ベクトル空間での剰余集合(商集合)と剰余類(商類)の定義と性質
\[
\left(A/B\right)^{c}\subseteq A^{c}/B
\]
ベクトル空間の線形同型は同値関係
ベクトル空間の同型$\simeq$は同値関係を満たす。
ベクトル空間の線形同型写像・線形同型の定義と性質
線形写像$f$が全単射であるとき、線形同型写像という。
線形写像の合成写像と像
$f$が全射であるとき、$\im\left(g\circ f\right)=\im g$となる。