NEW!差集合の演算
\[
\left(A\setminus B\right)\setminus C=A\setminus\left(B\cup C\right)
\]
NEW!否定包含関係を含む式
\begin{align*}
A\nsubseteq B & \Leftrightarrow B^{c}\nsubseteq A^{c}\\
& \Leftrightarrow A\cap B^{c}\ne\emptyset\\
& \Leftrightarrow B\subsetneq B\cup A\\
& \Leftrightarrow A\cap B\subsetneq A\\
& \Leftrightarrow A\setminus B\ne\emptyset
\end{align*}
NEW!等号なし包含関係を含む式
\[
A\subsetneq B\Rightarrow A\subseteq B
\]
NEW!包含関係を含む式
\[
A\subseteq A\cup B
\]
NEW!量化子と集合
\[
\forall x\in X,x\in A\Leftrightarrow A=X
\]
空集合と全体集合を含む集合演算
\[
A\cup A^{c}=X
\]
集合の演算の基本
\[
A\cup\left(A^{c}\cap B\right)=A\cup B
\]
集合の演算の定義
\[
A\cup B=\left\{ x;x\in A\lor x\in B\right\}
\]
不等号の同値な条件
\[
\forall n\in\mathbb{N},x\leq y\leftrightarrow x-\frac{1}{n}<y
\]
4元数のパウリ表示
\[
e_{k}=-i\sigma_{k}
\]
パウリ行列によるガンマ行列のディラック表示
\[
\begin{cases}
\gamma^{0}=\sigma_{3}\otimes I_{2}\\
\gamma^{j}=i\sigma_{2}\otimes\sigma_{j}
\end{cases}
\]
パウリ行列の定義と性質
\[
\sigma_{j}\sigma_{k}=I\delta_{jk}+i\sum_{l=1}^{3}\epsilon_{jkl}\sigma_{l}
\]
フロベニウス内積の定義
\[
\left\langle A,B\right\rangle :=\tr\left(A^{*}B\right)
\]
1次独立であることと同値な条件
\[
\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n+1}\text{が1次独立}\Leftrightarrow\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\text{が1次独立}\land a_{n+1}\notin\left\langle \boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right\rangle
\]
ジョルダン細胞のべき乗と指数関数
\[
\left(J_{n}^{m}\left(\lambda\right)\right)_{i,j}=C\left(m,j-i\right)\lambda^{m+i-j}
\]
ジョルダン細胞とジョルダン標準形の定義
\[
J_{n}\left(\lambda\right)=\left(\begin{array}{cccccc}
\lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
0 & \lambda & 1 & \ddots & 0 & 0\\
0 & 0 & \lambda & \ddots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda & 1\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda
\end{array}\right)
\]
広義固有空間・広義固有ベクトルの性質
\[
\dim\ker\left(\left(\lambda_{k}I-A\right)^{n_{k}}\right)=n_{k}
\]
広義固有空間と広義固有ベクトルの定義
\[
\widetilde{W}\left(\lambda_{k}\right)=\ker\left(\left(A-\lambda_{k}I\right)^{n_{k}}\right)
\]
エルミート形式・2次形式
\[
f\left(\boldsymbol{x}\right)=\boldsymbol{x}^{*}A\boldsymbol{x}
\]
恒等的に成り立つ行列
\[
A=B\Leftrightarrow\forall\boldsymbol{x}\in K^{n},A\boldsymbol{x}=B\boldsymbol{x}
\]
直交射影行列の定義と性質
\[
P=A\left(A^{*}A\right)^{-1}A^{*}
\]
射影行列
\[
P=A\left(B^{*}A\right)^{-1}B^{*}
\]
核・像・次元の性質
\[
\ker A^{*}=\left(\im A\right)^{\perp}
\]
直交直和分解定理
\[
W=X_{1}\oplus X_{2}
\]
バナッハ空間の例
\[
\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{p}=\left(\sum_{j=1}^{n}\left|x_{j}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}
\]
部分ノルム空間・直積ノルム空間・商ノルム空間の定義
\[
\left(V\times W,\left\Vert \left(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right)\right\Vert _{V\times W}\right)
\]
ノルムの同値性の定義と性質
\[
c_{1}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{A}\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{B}\leq c_{2}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{A}
\]