野村数学研究所

論理+数式

行列

NEW!巡回行列の定義と性質

\[ C=\left(\begin{array}{cccccc} x_{0} & x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n-2} & x_{n-1}\\ x_{n-1} & x_{0} & x_{1} & \cdots & x_{n-3} & x_{n-2}\\ x_{n-2} & x_{n-1} & x_{0} & \cdots & x_{n-4} & x_{n-3}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ x_{2} & x_{3} & x_{4} & \cdots & x_{0} & x_{1}\\ x_{1} & x_{2} & x_{3} & \cdots & x_{n-1} & x_{0} \end{array}\right) \]

行列

行列式と行・列の入れ替え

\[ \det\left(\boldsymbol{a}_{\tau\left(1\right)},\boldsymbol{a}_{\tau\left(2\right)},\cdots,\boldsymbol{a}_{\tau\left(n\right)}\right)=\sgn\left(\tau\right)\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right) \]

内積空間

内積の連続性

\[ \lim_{k\rightarrow\infty}\left\langle \boldsymbol{x}_{k},\boldsymbol{y}_{k}\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \]

内積空間

グラム・シュミットの直交化

\[ \boldsymbol{b}_{m}=\frac{\boldsymbol{b}'_{m}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{m}\right\Vert },\boldsymbol{b}'_{m}=\boldsymbol{a}_{m}-\sum_{k=1}^{m-1}\left\langle \boldsymbol{a}_{m},\frac{\boldsymbol{b}'_{k}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert }\right\rangle \frac{\boldsymbol{b}'_{k}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert } \]

内積空間

パーセバルの等式

\[ \sum_{k=1}^{\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \right|^{2}=\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2} \]

内積空間

ベッセルの不等式

\[ \sum_{k=1}^{\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \right|^{2}\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2} \]