NEW!集合族演算の補集合と分配法則
\[
\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap B=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cap B\right)
\]
NEW!集合族の添え字集合が空集合
\[
\bigcup_{\lambda\in\emptyset}A_{\lambda}=\emptyset
\]
NEW!集合族の和集合・積集合の定義
\[
\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\left\{ x;\exists\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\right\}
\]
NEW!和集合・積集合から成り立つ関係
\[
A\cap B=C\Rightarrow A\cup B^{c}=C\cup B^{c}
\]
集合の演算その他
\[
A\cup B=A\cap B\Leftrightarrow A=B
\]
対称差集合の演算
\[
A\bigtriangleup B=A^{c}\bigtriangleup B^{c}
\]
差集合の演算
\[
\left(A\setminus B\right)\setminus C=A\setminus\left(B\cup C\right)
\]
否定包含関係を含む式
\begin{align*}
A\nsubseteq B & \Leftrightarrow B^{c}\nsubseteq A^{c}\\
& \Leftrightarrow A\cap B^{c}\ne\emptyset\\
& \Leftrightarrow B\subsetneq B\cup A\\
& \Leftrightarrow A\cap B\subsetneq A\\
& \Leftrightarrow A\setminus B\ne\emptyset
\end{align*}
等号なし包含関係を含む式
\[
A\subsetneq B\Rightarrow A\subseteq B
\]
包含関係を含む式
\[
A\subseteq A\cup B
\]
量化子と集合
\[
\forall x\in X,x\in A\Leftrightarrow A=X
\]
空集合と全体集合を含む集合演算
\[
A\cup A^{c}=X
\]
集合の演算の基本
\[
A\cup\left(A^{c}\cap B\right)=A\cup B
\]
集合の演算の定義
\[
A\cup B=\left\{ x;x\in A\lor x\in B\right\}
\]
不等号の同値な条件
\[
\forall n\in\mathbb{N},x\leq y\leftrightarrow x-\frac{1}{n}<y
\]
4元数のパウリ表示
\[
e_{k}=-i\sigma_{k}
\]
パウリ行列によるガンマ行列のディラック表示
\[
\begin{cases}
\gamma^{0}=\sigma_{3}\otimes I_{2}\\
\gamma^{j}=i\sigma_{2}\otimes\sigma_{j}
\end{cases}
\]
パウリ行列の定義と性質
\[
\sigma_{j}\sigma_{k}=I\delta_{jk}+i\sum_{l=1}^{3}\epsilon_{jkl}\sigma_{l}
\]
フロベニウス内積の定義
\[
\left\langle A,B\right\rangle :=\tr\left(A^{*}B\right)
\]
1次独立であることと同値な条件
\[
\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n+1}\text{が1次独立}\Leftrightarrow\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\text{が1次独立}\land a_{n+1}\notin\left\langle \boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right\rangle
\]
ジョルダン細胞のべき乗と指数関数
\[
\left(J_{n}^{m}\left(\lambda\right)\right)_{i,j}=C\left(m,j-i\right)\lambda^{m+i-j}
\]
ジョルダン細胞とジョルダン標準形の定義
\[
J_{n}\left(\lambda\right)=\left(\begin{array}{cccccc}
\lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
0 & \lambda & 1 & \ddots & 0 & 0\\
0 & 0 & \lambda & \ddots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda & 1\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda
\end{array}\right)
\]
広義固有空間・広義固有ベクトルの性質
\[
\dim\ker\left(\left(\lambda_{k}I-A\right)^{n_{k}}\right)=n_{k}
\]
広義固有空間と広義固有ベクトルの定義
\[
\widetilde{W}\left(\lambda_{k}\right)=\ker\left(\left(A-\lambda_{k}I\right)^{n_{k}}\right)
\]
エルミート形式・2次形式
\[
f\left(\boldsymbol{x}\right)=\boldsymbol{x}^{*}A\boldsymbol{x}
\]
恒等的に成り立つ行列
\[
A=B\Leftrightarrow\forall\boldsymbol{x}\in K^{n},A\boldsymbol{x}=B\boldsymbol{x}
\]