NEW!写像・対応のグラフの定義
\[G\left(f\right)=\left\{ \left(x,f\left(x\right)\right)\in X\times Y;x\in X\right\} \]
NEW!写像・対応の相等の定義
\[f=g\]
NEW!写像と対応の定義
\[\Def\left(f\right)=\left\{ x\in X;f\left(x\right)\in Y\right\} =X\]
NEW!像・逆像と下極限・上極限・極限の関係
\[\liminf_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right)\supseteq f\left(\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right)\]
NEW!集合列と像・逆像の極限と存在性
極限$\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}$が存在しても像の極限$\lim_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right)$が存在するとは限らない。
NEW!上極限集合の和集合と下極限集合の積集合
\[\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(A_{n}\cup B_{n}\right)=\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\cup\limsup_{n\rightarrow\infty}B_{n}\]
上極限集合と下極限集合の包含関係
\[\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\subseteq\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\]
単調増加列・単調減少列の極限集合
\[A_{n}\nearrow_{n\in\mathbb{N}}\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n}\]
上極限集合・下極限集合・極限集合の補集合
\[\left(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right)^{c}=\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}^{c}\]
上極限集合と下極限集合の定義
\[\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}=\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}\]
集合列と非交和
\[\bigcup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }A_{k}=\bigsqcup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\left(A_{k}\setminus\bigcup_{j=1}^{k-1}A_{j}\right)\]
集合列と和集合・積集合
\[\bigcap_{1\leq j<k\leq n}\left(A_{j}\cup A_{k}\right)=\bigcup_{1\leq j\leq n}\bigcap_{1\leq k\leq n,k\ne j}A_{k}\]
単調増加列・単調減少列同士の積集合と和集合
\[A_{k}\nearrow_{k\in\mathbb{N}},B_{k}\nearrow_{k\in\mathbb{N}}\Rightarrow\bigcup_{k=1}^{\infty}\left(A_{k}\cap B_{k}\right)=\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\cap\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k}\]
集合列の和集合と積集合の包含関係
\[\forall m,n\in\mathbb{N},\bigcap_{k=m}^{\infty}A_{k}\subseteq\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}\]
2つの集合族同士の演算
\[\left(\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap\left(\prod_{\mu\in\Lambda}B_{\mu}\right)=\prod_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cap B_{\lambda}\right)\]
和集合・積集合の元とそれぞれの集合との関係
\[a\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\Leftrightarrow\bigvee_{\lambda\in\Lambda}a\in A_{\lambda}\]
直積集合の性質
\[\left(A\times B\right)^{c}=\left(A^{c}\times B^{c}\right)\cup\left(A^{c}\times B\right)\cup\left(A\times B^{c}\right)\]
直積集合の定義
\[A\times B:=\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in B\right\} \]
配置集合
\[B^{A}\]
「一般的に成り立たない」と「成り立たない」と「成り立つとは限らない」
文章と論理記号での優先順位
「Aを満たすBが存在する」と「Aを満たすのは任意のBについてである」という表現
量化記号の説明部分の順番
論理演算と集合演算との関係
\[a\in A\leftrightarrow a\in B\Leftrightarrow a\in\left(A\cap B\right)\cup\left(A\cup B\right)^{c}\]
クラスと真のクラスの定義と性質
\[C=\left\{ X;X\text{は集合で}\psi\left(X\right)\text{を満たす}\right\} \]