位相的に識別可能の定義
位相的に識別可能の定義
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)があるとき、相異なる2点\(x,y\in X\)の近傍系\(\mathcal{V}\left(x\right),\mathcal{V}\left(y\right)\)が\(\mathcal{V}\left(x\right)\ne\mathcal{V}\left(y\right)\)のとき、\(x\)と\(y\)は位相的に識別可能という。
反対に\(\mathcal{V}\left(x\right)=\mathcal{V}\left(y\right)\)であるとき、\(x\)と\(y\)は位相的に識別不可能という。
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)があるとき、相異なる2点\(x,y\in X\)の近傍系\(\mathcal{V}\left(x\right),\mathcal{V}\left(y\right)\)が\(\mathcal{V}\left(x\right)\ne\mathcal{V}\left(y\right)\)のとき、\(x\)と\(y\)は位相的に識別可能という。
反対に\(\mathcal{V}\left(x\right)=\mathcal{V}\left(y\right)\)であるとき、\(x\)と\(y\)は位相的に識別不可能という。
(1)
密着位相\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)では\(a,b\)の近傍は\(\mathcal{V}\left(a\right)=\left\{ \left\{ a,b\right\} \right\} ,\mathcal{V}\left(b\right)=\left\{ \left\{ a,b\right\} \right\} \)であるので、\(\mathcal{V}\left(a\right)=\mathcal{V}\left(b\right)\)より、\(a\)と\(b\)は位相的に識別不可能である。(2)
離散位相\(\left(\left\{ a,b\right\} ,2^{\left\{ a,b\right\} }\right)\)では\(a,b\)の近傍は\(\mathcal{V}\left(a\right)=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} ,\mathcal{V}\left(b\right)=\left\{ \left\{ b\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \)であるので、\(\mathcal{V}\left(a\right)\ne\mathcal{V}\left(b\right)\)より、\(a\)と\(b\)は位相的に識別可能である。(3)
シェルピンスキー位相\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)では\(a,b\)の近傍は\(\mathcal{V}\left(a\right)=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} ,\mathcal{V}\left(b\right)=\left\{ \left\{ a,b\right\} \right\} \)であるので、\(\mathcal{V}\left(a\right)\ne\mathcal{V}\left(b\right)\)より、\(a\)と\(b\)は位相的に識別可能である。(4)
位相空間\(\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)\)では\(a,b\)の近傍は\(\mathcal{V}\left(a\right)=\left\{ \left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} ,\mathcal{V}\left(b\right)=\left\{ \left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \)であるので、\(\mathcal{V}\left(a\right)=\mathcal{V}\left(b\right)\)より、\(a\)と\(b\)は位相的に識別不可能である。ページ情報
| タイトル | 位相的に識別可能の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ln7xb5hx/ |
| SNSボタン |
T0・T1・T2・T3・T4空間の部分位相
有限位相での分離公理(離散・距離・T4・T3・T2・T1・T0)同士の関係
T2・T1・T0空間同士の関係
(*)分離公理(距離・正規・正則・T2・T1・T0・その他)同士の関係
\[
\text{距離空間}\Rightarrow\text{正規空間}\Rightarrow\text{正則空間}\Rightarrow T_{2}\text{空間}\Rightarrow T_{1}\text{空間}\Rightarrow T_{0}\text{空間}
\]