[2016年京都大学・数学問2]シンプルな整数問題

\(p,q\)の対称性より、\(p\leq q\)とする。
素数は偶数と奇数があり、偶数は2のみである。
\(p,q\)共に奇数の場合は奇数の奇数乗は奇数であり、奇数同士の和は偶数になるのでこれが素数になるためには、\(p^{q}+q^{p}=2\)とならなければいけない。
これは\(p,q<2\)であるので、1は素数ではないので\(p,q\)共に素数の場合は\(p^{q}+q^{p}\)は素数ではない。
\(p,q\)共に2の場合は\(2^{2}+2^{2}=4+4=8\)となり、素数ではない。
次に\(p,q\)のどちらかが素数でもう片方が奇数とする。
このとき、\(p\leq q\)なので\(p=2\)となり、与式は\(2^{q}+q^{2}\)となる。
\(q=3\)とすると、\(2^{3}+3^{2}=8+9=17\)となり素数となる。
次に\(q\)を3以外の奇素数とすると、自然数\(n\in\mathbb{N}\)を用いて、\(q=6n\pm1\)と表され、与式は
\begin{align*} p^{q}+q^{p} & =2^{6n\pm1}+\left(6n\pm1\right)^{2}\\ & =\left(3-1\right)^{6n\pm1}+\left(6n\pm1\right)^{2}\\ & \overset{3}{\equiv}\left(-1\right)^{6n\pm1}+\left(\pm1\right)^{2}\\ & =-1+1\\ & =0 \end{align*} となるので3で割り切れる。
また、\(q\)は5以上となるので、
\begin{align*} p^{q}+q^{p} & =2^{6n\pm1}+\left(6n\pm1\right)^{2}\\ & \geq2^{5}+5^{2}\\ & =32+25\\ & =57 \end{align*} となる。
これより、\(p^{q}+q^{p}\)は3で割り切れて57以上となるがそのような素数は存在しない。
従って、\(p^{q}+q^{p}\)が素数になるのは17のみである。