(1)

関数$f\left(x\right)$が、
$$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }\delta >0;\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f\left(x\right)-b|<ϵ$$ を満たすとき
$$\underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)=b$$ で表し「$x$が$a$に限りなく近づくとき$f\left(x\right)$は$b$に収束する」という。

(2)

関数$f\left(x\right)$が
$$\mathrm{\forall }K>0,\mathrm{\exists }\delta >0;\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},0<|x-a|<\delta \Rightarrow f\left(x\right)>K$$ を満たすとき
$$\underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)=\mathrm{\infty }$$ で表し「$x$が$a$に限りなく近づくとき関数$f\left(x\right)$は正の無限大に発散する」という。
また、
$$\mathrm{\forall }K>0,\mathrm{\exists }\delta >0;\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},0<|x-a|<\delta \Rightarrow f\left(x\right)<K$$ を満たすとき
$$\underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)=-\mathrm{\infty }$$ で表し「$x$が$a$に限りなく近づくとき関数$f\left(x\right)$は負の無限大に発散する」という。

(3)

関数$f\left(x\right)$が
$$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }X>0;\mathrm{\forall }x,X<x\Rightarrow |f\left(x\right)-b|<ϵ$$ を満たすとき
$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=b$$ で表し「$x$が限りなく大きくなるとき$f\left(x\right)$は$b$に収束する」という。
また、
$$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }X<0;\mathrm{\forall }x,x<X\Rightarrow |f\left(x\right)-b|<ϵ$$ を満たすとき
$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=b$$ で表し「$x$が限りなく小さくなるとき$f\left(x\right)$は$b$に収束する」という。

(4)

関数$f\left(x\right)$が
$$\mathrm{\forall }K>0,\mathrm{\exists }X>0;\mathrm{\forall }x,x>X\Rightarrow f\left(x\right)>K$$ を満たすとき
$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=\mathrm{\infty }$$ で表し、「$x$が限りなく大きくなるとき$f\left(x\right)$は正の無限大に発散する」という。
同様に
$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=\mathrm{\infty }$$ $$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=-\mathrm{\infty }$$ $$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=-\mathrm{\infty }$$ も定義する。