ポアソン和公式より、
\begin{align*} \vartheta(t) & =\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-\pi tn^{2}}\\ & =\sum_{k=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi tn^{2}}e^{-2\pi ikn}dn\\ & =\sum_{k=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi t\left(n+\frac{ik}{t}\right)^{2}}e^{-\frac{\pi k^{2}}{t}}dn\\ & =\frac{1}{\sqrt{t}}\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{-\frac{\pi k^{2}}{t}}\\ & =\frac{1}{\sqrt{t}}\vartheta\left(\frac{1}{t}\right) \end{align*}

(1)

\begin{align*} \vartheta(x) & =\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-\pi tn^{2}}\\ & =\sum_{n=-\infty}^{-1}e^{-\pi tn^{2}}+1+\sum_{n=1}^{\infty}e^{-\pi tn^{2}}\\ & =2\Psi(x)+1 \end{align*} より、
\[ \Psi(x)=\frac{\vartheta(x)-1}{2} \]

(2)

\begin{align*} \Psi\left(\frac{1}{x}\right) & =\frac{\vartheta(\frac{1}{x})-1}{2}\\ & =\frac{\sqrt{x}\vartheta(x)-1}{2}\\ & =\sqrt{x}\Psi(x)+\frac{\sqrt{x}-1}{2} \end{align*}

ガンマ関数の定義より、
\begin{align*} \Gamma(s) & =\int_{0}^{\infty}x^{s-1}e^{-x}dx\qquad,\qquad x\rightarrow\pi n^{2}x\\ & =\left(\pi n^{2}\right)^{s}\int_{0}^{\infty}x^{s-1}e^{-\pi n^{2}x}dx \end{align*} 両辺\(\left(\pi n^{2}\right)^{s}\)で割り\(s\rightarrow\frac{s}{2}\)にして\(\sum_{n=1}^{\infty}\)をとると、
\begin{align*} \pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s) & =\int_{0}^{\infty}x^{\frac{s}{2}-1}\Psi(x)dx\\ & =\left(\int_{0}^{1}+\int_{1}^{\infty}\right)x^{\frac{s}{2}-1}\Psi(x)dx\\ & =\int_{1}^{\infty}x^{-1-\frac{s}{2}}\Psi(x^{-1})dx+\int_{1}^{\infty}x^{\frac{s}{2}-1}\Psi(x)dx\\ & =\int_{1}^{\infty}x^{-\frac{1+s}{2}}\Psi(x)dx+\frac{1}{2}\int_{1}^{\infty}x^{-\frac{1+s}{2}}dx-\frac{1}{2}\int_{1}^{\infty}x^{-1-\frac{s}{2}}dx+\int_{1}^{\infty}x^{\frac{s}{2}-1}\Psi(x)dx\\ & =\int_{1}^{\infty}\left(x^{\frac{1-s}{2}-1}+x^{\frac{s}{2}-1}\right)\Psi(x)dx+\frac{1}{1-s}\left[x^{\frac{1-s}{2}}\right]_{1}^{\infty}+\frac{1}{s}\left[x^{-\frac{s}{2}}\right]_{1}^{\infty}\\ & =\int_{1}^{\infty}\left(x^{\frac{1-s}{2}-1}+x^{\frac{s}{2}-1}\right)\Psi(x)dx-\frac{1}{1-s}-\frac{1}{s} \end{align*} 右辺は\(s\rightarrow1-s\)としても変わらないので、
\[ \pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s)=\pi^{-\frac{1-s}{2}}\Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\zeta(1-s) \] となる。