一般化調和数の通常型母関数と調和数の指数型母関数
一般化調和数の通常型母関数と調和数の指数型母関数
一般化調和数の通常型母関数と調和数の指数型母関数は次のようになる。
\[ \sum_{k=1}^{\infty}H_{k,m}z^{k}=\frac{\Li_{m}(z)}{1-z} \] \[ H_{n,m}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{m}} \] である。
\(m=1\)のときは、\(\Li_{1}(z)=-\log(1-z)\)なので、
\[ \sum_{k=1}^{\infty}H_{k}z^{k}=\frac{-\log(1-z)}{1-z} \] となる。
\(H_{n,m}\)は一般化調和数
\(\mathrm{Ein}\left(x\right)\)は整指数積分
一般化調和数の通常型母関数と調和数の指数型母関数は次のようになる。
(1)一般化調和数の通常型母関数
\(m\in\mathbb{N}_{0}\)とする。\[ \sum_{k=1}^{\infty}H_{k,m}z^{k}=\frac{\Li_{m}(z)}{1-z} \] \[ H_{n,m}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{m}} \] である。
\(m=1\)のときは、\(\Li_{1}(z)=-\log(1-z)\)なので、
\[ \sum_{k=1}^{\infty}H_{k}z^{k}=\frac{-\log(1-z)}{1-z} \] となる。
(2)調和数の指数型母関数
\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty}H_{k}\frac{x^{k}}{k!} & =e^{x}\mathrm{Ein}\left(x\right)\\ & =e^{x}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-x\right)^{k}}{kk!} \end{align*}-
\(H_{n}\)は調和数\(H_{n,m}\)は一般化調和数
\(\mathrm{Ein}\left(x\right)\)は整指数積分
(1)
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}H_{k,m}z^{k} & =\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{k}\frac{z^{k}}{j^{m}}\\ & =\sum_{t=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}\frac{z^{t+j}}{j^{m}}\\ & =\sum_{t=1}^{\infty}z^{t}\sum_{j=1}^{\infty}\frac{z^{j}}{j^{m}}\\ & =\frac{1}{1-z}\Li_{m}\left(z\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty}H_{k}\frac{x^{k}}{k!} & =\frac{d}{dx}\sum_{k=0}^{\infty}\int_{0}^{x}H_{k}\frac{x^{k}}{k!}dx\\ & =\frac{d}{dx}\sum_{k=0}^{\infty}H_{k}\frac{x^{k+1}}{\left(k+1\right)!}dx\\ & =\frac{d}{dx}\sum_{k=0}^{\infty}\left(H_{k+1}-\frac{1}{k+1}\right)\frac{x^{k+1}}{\left(k+1\right)!}\\ & =\frac{d}{dx}\sum_{k=0}^{\infty}H_{k+1}\frac{x^{k+1}}{\left(k+1\right)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{\left(k+1\right)!}\\ & =\frac{d}{dx}\LHS-\frac{1}{x}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}\\ & =e^{x}\left(1+\frac{d}{dx}\right)e^{-x}\LHS-\frac{e^{x}-1}{x}\\ & =e^{x}\int_{y}^{x}e^{-x}\frac{e^{x}-1}{x}dx+\LHS\left(x\rightarrow y\right)\\ & =e^{x}\int_{0}^{x}\frac{1-e^{-x}}{x}dx\cmt{y=0}\\ & =e^{x}\mathrm{Ein}\left(x\right)\tag{*}\\ & =e^{x}\sum_{k=1}^{\infty}\int_{0}^{x}\frac{\left(-x\right)^{k-1}}{k!}dx\\ & =e^{x}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-x\right)^{k}}{kk!} \end{align*}ページ情報
| タイトル | 一般化調和数の通常型母関数と調和数の指数型母関数 |
| URL | https://www.nomuramath.com/v4tesgh5/ |
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ウォリスの公式
\[
\prod_{k=1}^{\infty}\left(\frac{(2k)^{2}}{(2k-1)(2k+1)}\right)=\frac{\pi}{2}
\]
logの2乗の級数表示
\[
\log^{2}(1-x)=2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_{k}}{k+1}x^{k+1}
\]
ファウルハーバー公式(冪乗和公式)
\[
\sum_{j=1}^{n}j^{m}=\frac{1}{m+1}\left(B_{m+1}(n+1)-B_{m+1}(1)\right)
\]
2重根号
\[
\sqrt{a\pm|b|\sqrt{c}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{a+\sqrt{a^{2}-b^{2}c}}\pm\sqrt{a-\sqrt{a^{2}-b^{2}c}}\right)
\]