e^(ikx)の和
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
\[ \sum_{k=-n}^{n}e^{ikx}=\frac{\sin\left\{ \left(n+\frac{1}{2}\right)x\right\} }{\sin\frac{x}{2}} \]
\[ \sum_{k=-n}^{n}e^{ikx}=\frac{\sin\left\{ \left(n+\frac{1}{2}\right)x\right\} }{\sin\frac{x}{2}} \]
\begin{align*}
\sum_{k=-n}^{n}e^{ikx} & =\sum_{k=0}^{2n}e^{i(k-n)x}\\
& =e^{-inx}\sum_{k=0}^{2n}e^{ikx}\\
& =e^{-inx}\frac{1-e^{i(2n+1)x}}{1-e^{ix}}\\
& =\frac{e^{-inx}-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}}\\
& =\frac{e^{-i\left(n+\frac{1}{2}\right)x}-e^{i\left(n+\frac{1}{2}\right)x}}{e^{-i\frac{x}{2}}-e^{i\frac{x}{2}}}\\
& =\frac{\sin\left\{ \left(n+\frac{1}{2}\right)x\right\} }{\sin\frac{x}{2}}
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | e^(ikx)の和 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ohqhumvt/ |
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櫛型関数の性質
\[
\mathrm{comb}_{T}\left(ax\right)=\frac{1}{\left|a\right|}\mathrm{comb}_{\frac{T}{a}}\left(x\right)
\]
集合族の有限性・鎖・帰納的順序集合の定義
\[
A\in\mathcal{A}\Leftrightarrow\forall B\subseteq A,\left|B\right|<\infty\rightarrow B\in\mathcal{A}
\]
デルタ関数の定義
\[
\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)\delta\left(x\right)dx=f\left(0\right)
\]
交代順列とジグザグ数
\[
\tan x+\cos^{-1}x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\hat{T}_{k}}{k!}x^{k}
\]