ガンマ関数の微分
ガンマ関数の微分は以下の通りになる。
\[ \frac{d}{dz}\Gamma(z)=\Gamma(z)\psi(z) \] ここで\(\psi(z)\)はディガンマ関数である。
\[ \frac{d}{dz}\Gamma(z)=\Gamma(z)\psi(z) \] ここで\(\psi(z)\)はディガンマ関数である。
\begin{align*}
\frac{d}{dz}\Gamma(z) & =\Gamma(z)\frac{d}{dz}\log\left(\Gamma(z)\right)\\
& =\Gamma(z)\psi(z)
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | ガンマ関数の微分 |
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そのままだとΓ(0)になる積分
\[
\int_{0}^{\infty}\left(x^{-1}e^{-x}-\frac{e^{-nx}}{1-e^{-x}}\right)dx=H_{n-1}-\gamma
\]
(*)ガンマ関数と複素数
\[
\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{i\theta}}z^{\alpha-1}e^{-z}dz=\Gamma\left(\alpha\right)
\]
ガンマ関数の漸化式
\[
\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)
\]
ガンマ関数の1/2値
\[
\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}
\]