ガンマ関数の半整数値
\(n\in\mathbb{N}\)とする。
(1)
\[ \Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right)=\frac{(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!}\sqrt{\pi} \](2)
\[ \Gamma\left(\frac{1}{2}-n\right)=(-1)^{n}\frac{2^{2n-1}(n-1)!}{(2n-1)!}\sqrt{\pi} \](1)
\begin{align*} \Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right) & =\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\prod_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{2}+k\right)\\ & =\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)Q\left(\frac{1}{2},n\right)\\ & =\frac{(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!}\sqrt{\pi} \end{align*}(2)
\begin{align*} \Gamma\left(\frac{1}{2}-n\right) & =\Gamma\left(1-\left(\frac{1}{2}+n\right)\right)\\ & =\Gamma^{-1}\left(\frac{1}{2}+n\right)\frac{\pi}{\sin\left(\pi\left(\frac{1}{2}+n\right)\right)}\\ & =(-1)^{n}\frac{2^{2n-1}(n-1)!}{(2n-1)!}\sqrt{\pi} \end{align*}(2)-2
\begin{align*} \Gamma\left(\frac{1}{2}-n\right) & =\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\prod_{k=0}^{-n-1}\left(\frac{1}{2}+k\right)\\ & =\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\prod_{k=-n}^{-1}\left(\frac{1}{2}+k\right)^{-1}\\ & =\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\prod_{k=0}^{n-1}\left(-\frac{1}{2}-k\right)^{-1}\\ & =\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)P^{-1}\left(-\frac{1}{2},n\right)\\ & =\frac{(-1)^{n}2^{2n-1}(n-1)!}{(2n-1)!}\sqrt{\pi} \end{align*}ページ情報
| タイトル | ガンマ関数の半整数値 |
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ガンマ関数の微分
\[
\frac{d}{dz}\Gamma(z)=\Gamma(z)\psi(z)
\]
偶数と奇数の2重階乗
\[
\left(2n+1\right)!!=2^{n+1}\frac{\left(n+\frac{1}{2}\right)!}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}
\]
第2種不完全ガンマ関数とガンマ関数の比の極限
\[
\lim_{k\rightarrow0}\frac{\Gamma\left(k,x\right)}{\Gamma\left(k\right)}=\delta_{0x}
\]
ガンマ関数の絶対収束条件
ガンマ関数$\Gamma\left(z\right)$は$\Re\left(z\right)>0$で絶対収束