2項係数の特殊な積
2項係数の特殊な積
\[ C(x,t)C(t,y)=C(x,y)C(x-y,x-t) \]
\[ C(x,t)C(t,y)=C(x,y)C(x-y,x-t) \]
\begin{align*}
C(x,t)C(t,y) & =\frac{x!}{t!(x-t)!}\frac{t!}{y!(t-y)!}\\
& =\frac{x!}{y!(x-y)!}\frac{(x-y)!}{(x-t)!(t-y)!}\\
& =C(x,y)C(x-y,x-t)
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 2項係数の特殊な積 |
| URL | https://www.nomuramath.com/io58wa0k/ |
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2項係数の2乗和
\[
\sum_{j=0}^{m}C^{2}(m,j)=C(2m,m)
\]
2項係数の母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}C(x+k,k)t^{k}=(1-t)^{-(x+1)}
\]
2項係数の微分
\[
\frac{d}{dx}C(x,y) =C(x,y)\left(\psi(1+x)-\psi(1+x-y)\right)
\]
中央2項係数の値
\[
C\left(2n,n\right)=4^{n}\left(-1\right)^{n}C\left(-\frac{1}{2},n\right)
\]