期待値・分散・共分散などの定義
期待値・分散・共分散などの定義
\(P\)を確率とする。
\[ E\left(X\right)=\sum_{i}x_{i}P\left(X=x_{i}\right) \] 確率変数\(X\)が連続であるとき、
\[ E\left(X\right)=\int_{-\infty}^{\infty}xP\left(x\right)dx \] 期待値を\(\mu_{X}\)で表すこともある。
\(P\)を確率とする。
(1)期待値
確率変数\(X\)が離散であるとき、\[ E\left(X\right)=\sum_{i}x_{i}P\left(X=x_{i}\right) \] 確率変数\(X\)が連続であるとき、
\[ E\left(X\right)=\int_{-\infty}^{\infty}xP\left(x\right)dx \] 期待値を\(\mu_{X}\)で表すこともある。
(2)分散
\[ V\left(X\right)=E\left(\left(X-E\left(X\right)\right)^{2}\right) \] 分散を\(\sigma^{2},\sigma_{XX}\)で表すこともある。(3)共分散
\[ Cov\left(X,Y\right)=E\left(\left(X-E\left(X\right)\right)\left(Y-E\left(Y\right)\right)\right) \] 共分散を\(\sigma_{XY}\)で表すこともある。(4)標準偏差
\[ \sigma\left(X\right)=\sqrt{V(X)} \] 標準偏差を\(\sigma_{X}\)で表すこともある。(5)相関係数
\[ \rho\left(X,Y\right)=\frac{\sigma_{XY}}{\sigma_{X}\sigma_{Y}} \] 相関係数を\(\rho_{XY}\)で表すこともある。相関係数は2つの確率変数\(X,Y\)を期待値0、標準偏差\(1\)に標準化して共分散をとったものに等しくなります。
\begin{align*} Cov\left(\frac{X-E\left(X\right)}{\sqrt{V\left(X\right)}},\frac{Y-E\left(Y\right)}{\sqrt{V\left(Y\right)}}\right) & =Cov\left(\frac{X-E\left(X\right)}{\sigma_{X}},\frac{Y-E\left(Y\right)}{\sigma_{Y}}\right)\\ & =Cov\left(\frac{X}{\sigma_{X}},\frac{Y}{\sigma_{Y}}\right)\\ & =\frac{1}{\sigma_{X}\sigma_{Y}}Cov\left(X,Y\right)\\ & =\frac{\sigma_{XY}}{\sigma_{X}\sigma_{Y}}\\ & =\rho\left(X,Y\right) \end{align*}
\begin{align*} Cov\left(\frac{X-E\left(X\right)}{\sqrt{V\left(X\right)}},\frac{Y-E\left(Y\right)}{\sqrt{V\left(Y\right)}}\right) & =Cov\left(\frac{X-E\left(X\right)}{\sigma_{X}},\frac{Y-E\left(Y\right)}{\sigma_{Y}}\right)\\ & =Cov\left(\frac{X}{\sigma_{X}},\frac{Y}{\sigma_{Y}}\right)\\ & =\frac{1}{\sigma_{X}\sigma_{Y}}Cov\left(X,Y\right)\\ & =\frac{\sigma_{XY}}{\sigma_{X}\sigma_{Y}}\\ & =\rho\left(X,Y\right) \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 期待値・分散・共分散などの定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/uu4cne33/ |
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分散の基本的性質
\[
V\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}X_{i}\right)=\sum_{i,j}a_{i}a_{j}Cov\left(X_{i},X_{j}\right)
\]
独立と無相関の関係
\[
\text{独立}\Rightarrow\text{無相関}
\]
チェビシェフの不等式
\[
P(\left|X-\mu\right|\geq\epsilon)\leq\frac{V(X)}{\epsilon^{2}}
\]
大数の法則
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}P(\left|Y_{n}-\mu\right|\geq\epsilon)=0
\]