大数の法則
大数の法則
確率変数\(X_{1},X_{2},\cdots\cdots,X_{n}\)は独立同分布とする。
標本平均を\(Y_{n}\)、母平均を\(\mu\)とする。
すなわち
\[ Y_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i} \] \[ E(X)=\mu \] とする。
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}P(\left|Y_{n}-\mu\right|\geq\epsilon)=0 \] が成り立つ。
確率変数\(X_{1},X_{2},\cdots\cdots,X_{n}\)は独立同分布とする。
標本平均を\(Y_{n}\)、母平均を\(\mu\)とする。
すなわち
\[ Y_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i} \] \[ E(X)=\mu \] とする。
(1)大数の弱法則
任意の\(\epsilon>0\)に対し、\[ \lim_{n\rightarrow\infty}P(\left|Y_{n}-\mu\right|\geq\epsilon)=0 \] が成り立つ。
(2)大数の強法則
\[ P\left(\lim_{n\rightarrow\infty}Y_{n}=\mu\right)=1 \](1)
\begin{align*} E\left(Y_{n}\right) & =E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\right)\\ & =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E\left(X_{i}\right)\\ & =\mu \end{align*} \begin{align*} V\left(Y_{n}\right) & =V\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\right)\\ & =\frac{1}{n^{2}}\sum_{i,j}Cov\left(X_{i},X_{j}\right)\\ & =\frac{1}{n^{2}}\sum_{i,j}V(X)\delta_{ij}\\ & =\frac{\sigma^{2}}{n} \end{align*} となる。これにチェビシェフの不等式を使うと、
\[ P(\left|Y_{n}-\mu\right|\geq\epsilon)\leq\frac{\sigma^{2}}{n\epsilon^{2}} \] \(n\rightarrow\infty\)の極限を取ると、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}P(\left|Y_{n}-\mu\right|\geq\epsilon)=0 \]
(2)
略ページ情報
| タイトル | 大数の法則 |
| URL | https://www.nomuramath.com/hr5meenr/ |
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チェビシェフの不等式
\[
P(\left|X-\mu\right|\geq\epsilon)\leq\frac{V(X)}{\epsilon^{2}}
\]
共分散の基本的性質
\[
Cov(X,aY)=aCov(X,Y)
\]
期待値の基本的性質
\[
E(XY)=E(X)E(Y)+Cov(X,Y)
\]
誤差関数・相補誤差関数・虚数誤差関数の定義
\[
erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}dt
\]