(1)

略

(2)

オイラーの規準より、
$$QR(-1,p)\stackrel{p}{\equiv }(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}$$ となる。右辺は1または-1なので、
$$QR(-1,p)=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}$$ となり、与式は成り立つ。

(3)

$$\begin{array}{rl}{(x+x^{-1})}^p& =\sum _{k=0}^{p}C(p,k)x^k{x}^{-(p-k)}\\ & =\sum _{k=0}^{\frac{p-1}{2}}C(p,k)x^k{x}^{-(p-k)}+\sum _{k=\frac{p+1}{2}}^{p}C(p,k)x^k{x}^{-(p-k)}\\ & =\sum _{k=0}^{\frac{p-1}{2}}C(p,k)x^k{x}^{-(p-k)}+\sum _{k=0}^{\frac{p-1}{x}}C(p,p-k)x^{p-k}{x}^{-k}\\ & =\sum _{k=0}^{\frac{p-1}{2}}C(p,k)(x^{-(p-2k)}+x^{p-2k})\end{array}$$ ここで、${\omega }_8=e^{\frac{2\pi i}{8}}$とおくと、
$$\begin{array}{rl}{\omega }_8^n+{\omega }_8^{-n}& =\{\begin{array}{ll}\sqrt{2}& n\stackrel{8}{\equiv }\pm 1\\ -\sqrt{2}& n\stackrel{8}{\equiv }\pm 3\end{array}\\ & =(-1{)}^{\frac{n^2-1}{8}}\sqrt{2}\end{array}$$ となるので、$x$に${\omega }_8$を代入すると、
$$\begin{array}{rl}l.h.s& ={({\omega }_8+{\omega }_8^{-1})}^p\\ & =2^{\frac{p}{2}}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}r.h.s& =\sum _{k=0}^{\frac{p-1}{2}}C(p,k)({\omega }_8^{-(p-2k)}+{\omega }_8^{p-2k})\\ & =\sum _{k=0}^{\frac{p-1}{2}}C(p,k)((-1{)}^{\frac{(p-2k{)}^2-1}{8}}\sqrt{2})\end{array}$$ より、
$$\begin{array}{rl}{2}^{\frac{p-1}{2}}& =\sum _{k=0}^{\frac{p-1}{2}}C(p,k)((-1{)}^{\frac{(p-2k{)}^2-1}{8}})\\ & \stackrel{p}{\equiv }(-1{)}^{\frac{p^2-1}{8}}\end{array}$$ オイラーの規準より、
$$\begin{array}{rl}QR(2,p)& \stackrel{p}{\equiv }{2}^{\frac{p-1}{2}}\\ & \stackrel{p}{\equiv }(-1{)}^{\frac{p^2-1}{8}}\end{array}$$ なり右辺は1または-1なので、
$$QR(2,p)=(-1{)}^{\frac{p^2-1}{8}}$$

(4)

$$\begin{array}{rl}QR(ab,p)& \stackrel{p}{\equiv }{\left(ab\right)}^{\frac{p-1}{2}}\\ & =a^{\frac{p-1}{2}}{b}^{\frac{p-1}{2}}\\ & =QR(a,p)QR(b,p)\end{array}$$ 両辺ともに$\pm 1$なので
$$QR(ab,p)=QR(a,p)QR(b,p)$$