ウォリスの公式
ウォリスの公式
\[ \prod_{k=1}^{\infty}\left(\frac{(2k)^{2}}{(2k-1)(2k+1)}\right)=\frac{\pi}{2} \]
\[ \prod_{k=1}^{\infty}\left(\frac{(2k)^{2}}{(2k-1)(2k+1)}\right)=\frac{\pi}{2} \]
\begin{align*}
\prod_{k=1}^{\infty}\left(\frac{(2k)^{2}}{(2k-1)(2k+1)}\right) & =\prod_{k=1}^{\infty}\left(\frac{(2k-1)(2k+1)}{(2k)}\right)^{-1}\\
& =\prod_{k=1}^{\infty}\left(\frac{(2k)^{2}-1}{(2k)^{2}}\right)^{-1}\\
& =\frac{\pi}{2}\left\{ \frac{\pi}{2}\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}{k^{2}}\right)\right\} ^{-1}\\
& =\frac{\pi}{2}\sin^{-1}\left(\frac{\pi}{2}\right)\qquad,\qquad\sin(\pi z)=\pi z\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^{2}}{k^{2}}\right)\\
& =\frac{\pi}{2}
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | ウォリスの公式 |
| URL | https://www.nomuramath.com/rszzqz7i/ |
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logの2乗の級数表示
\[
\log^{2}(1-x)=2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_{k}}{k+1}x^{k+1}
\]
関数の極限
\[
\forall\epsilon>0,\exists\delta>0;\forall x\in\mathbb{R},0<\left|x-a\right|<\delta\Rightarrow\left|f\left(x\right)-b\right||<\epsilon
\]
コーシーの関数方程式と関数方程式の基本
\[
f(x+y)=f(x)+f(y)
\]
2重根号
\[
\sqrt{a\pm|b|\sqrt{c}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{a+\sqrt{a^{2}-b^{2}c}}\pm\sqrt{a-\sqrt{a^{2}-b^{2}c}}\right)
\]