第3種・第4種チェビシェフ多項式の漸化式
第3種・第4種チェビシェフ多項式の漸化式
(1)
\[ V_{k+1}(x)=2xV_{k}(x)-V_{k-1}(x) \](2)
\[ W_{k+1}(x)=2xW_{k}(x)-W_{k-1}(x) \](1)
加法定理より、\[ \cos\left(\left(k+\frac{1}{2}\pm1\right)t\right)=\cos\left(\left(k+\frac{1}{2}\right)t\right)\cos t\mp\sin\left(\left(k+\frac{1}{2}\right)t\right)\sin t \] となるので、
\[ \cos\left(\left(k+\frac{3}{2}\right)t\right)=2\cos\left(\left(k+\frac{1}{2}\right)t\right)\cos t-\cos\left(\left(k-\frac{1}{2}\right)t\right) \] これより、
\[ V_{k+1}(\cos t)\cos\frac{t}{2}=2V_{k}(\cos t)\cos\frac{t}{2}\cos t-V_{k-1}(\cos t)\cos\frac{t}{2} \] となるので、
\[ V_{k+1}(x)=2xV_{k}(x)-V_{k-1}(x) \]
(2)
加法定理より、\[ \sin\left(\left(k+\frac{1}{2}\pm1\right)t\right)=\sin\left(\left(k+\frac{1}{2}\right)t\right)\cos\left(t\right)\pm\cos\left(\left(k+\frac{1}{2}\right)t\right)\sin\left(t\right) \] となるので、
\[ \sin\left(\left(k+\frac{3}{2}\right)t\right)=2\sin\left(\left(k+\frac{1}{2}\right)t\right)\cos t-\sin\left(\left(k-\frac{1}{2}\right)t\right) \] これより、
\[ W_{k+1}(\cos t)\sin\frac{t}{2}=2W_{k}(\cos t)\sin\frac{t}{2}\cos t-W_{k-1}(\cos t)\sin\frac{t}{2} \] となるので、
\[ W_{k+1}(x)=2xW_{k}(x)-W_{k-1}(x) \]
ページ情報
| タイトル | 第3種・第4種チェビシェフ多項式の漸化式 |
| URL | https://www.nomuramath.com/adz79nri/ |
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チェビシェフ多項式の昇降演算子
\[
\left(\left(1-x^{2}\right)\frac{d}{dx}\mp nx\right)T_{n}(x)=\mp nT_{n\pm1}(x)
\]
第3種・第4種チェビシェフ多項式の定義
\[
V_{n}(x)=\frac{\cos\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\cos^{\bullet}x\right)}{\cos\left(\frac{1}{2}\cos^{\bullet}x\right)}
\]
(*)チェビシェフ多項式の超幾何表示
\[
T_{n}(x)=F\left(-n,n;\frac{1}{2};\frac{1-x}{2}\right)
\]
第1種・第2種と第3種チェビシェフ多項式同士の関係
\[
V(-x)=(-1)^{n}W_{n}(x)
\]