第3種・第4種チェビシェフ多項式の漸化式
第3種・第4種チェビシェフ多項式の漸化式
(1)
\[ V_{k+1}(x)=2xV_{k}(x)-V_{k-1}(x) \](2)
\[ W_{k+1}(x)=2xW_{k}(x)-W_{k-1}(x) \](1)
加法定理より、\[ \cos\left(\left(k+\frac{1}{2}\pm1\right)t\right)=\cos\left(\left(k+\frac{1}{2}\right)t\right)\cos t\mp\sin\left(\left(k+\frac{1}{2}\right)t\right)\sin t \] となるので、
\[ \cos\left(\left(k+\frac{3}{2}\right)t\right)=2\cos\left(\left(k+\frac{1}{2}\right)t\right)\cos t-\cos\left(\left(k-\frac{1}{2}\right)t\right) \] これより、
\[ V_{k+1}(\cos t)\cos\frac{t}{2}=2V_{k}(\cos t)\cos\frac{t}{2}\cos t-V_{k-1}(\cos t)\cos\frac{t}{2} \] となるので、
\[ V_{k+1}(x)=2xV_{k}(x)-V_{k-1}(x) \]
(2)
加法定理より、\[ \sin\left(\left(k+\frac{1}{2}\pm1\right)t\right)=\sin\left(\left(k+\frac{1}{2}\right)t\right)\cos\left(t\right)\pm\cos\left(\left(k+\frac{1}{2}\right)t\right)\sin\left(t\right) \] となるので、
\[ \sin\left(\left(k+\frac{3}{2}\right)t\right)=2\sin\left(\left(k+\frac{1}{2}\right)t\right)\cos t-\sin\left(\left(k-\frac{1}{2}\right)t\right) \] これより、
\[ W_{k+1}(\cos t)\sin\frac{t}{2}=2W_{k}(\cos t)\sin\frac{t}{2}\cos t-W_{k-1}(\cos t)\sin\frac{t}{2} \] となるので、
\[ W_{k+1}(x)=2xW_{k}(x)-W_{k-1}(x) \]
ページ情報
タイトル | 第3種・第4種チェビシェフ多項式の漸化式 |
URL | https://www.nomuramath.com/adz79nri/ |
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第1種チェビシェフ多項式と第2種チェビシェフ多項式の関係
\[
nU_{n-1}(x)=T_{n}'(x)
\]
チェビシェフ多項式の母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}T_{k}(x)t^{k}=\frac{1-tx}{1-2tx+t^{2}}
\]
チェビシェフ多項式の漸化式
\[
T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x)
\]
第2種チェビシェフ多項式の因数分解
\[
U_{2n-1}(x)=2U_{n-1}(x)T_{n}(x)
\]