第3種・第4種チェビシェフ多項式の漸化式
第3種・第4種チェビシェフ多項式の漸化式
(1)
\[ V_{k+1}(x)=2xV_{k}(x)-V_{k-1}(x) \](2)
\[ W_{k+1}(x)=2xW_{k}(x)-W_{k-1}(x) \](1)
加法定理より、\[ \cos\left(\left(k+\frac{1}{2}\pm1\right)t\right)=\cos\left(\left(k+\frac{1}{2}\right)t\right)\cos t\mp\sin\left(\left(k+\frac{1}{2}\right)t\right)\sin t \] となるので、
\[ \cos\left(\left(k+\frac{3}{2}\right)t\right)=2\cos\left(\left(k+\frac{1}{2}\right)t\right)\cos t-\cos\left(\left(k-\frac{1}{2}\right)t\right) \] これより、
\[ V_{k+1}(\cos t)\cos\frac{t}{2}=2V_{k}(\cos t)\cos\frac{t}{2}\cos t-V_{k-1}(\cos t)\cos\frac{t}{2} \] となるので、
\[ V_{k+1}(x)=2xV_{k}(x)-V_{k-1}(x) \]
(2)
加法定理より、\[ \sin\left(\left(k+\frac{1}{2}\pm1\right)t\right)=\sin\left(\left(k+\frac{1}{2}\right)t\right)\cos\left(t\right)\pm\cos\left(\left(k+\frac{1}{2}\right)t\right)\sin\left(t\right) \] となるので、
\[ \sin\left(\left(k+\frac{3}{2}\right)t\right)=2\sin\left(\left(k+\frac{1}{2}\right)t\right)\cos t-\sin\left(\left(k-\frac{1}{2}\right)t\right) \] これより、
\[ W_{k+1}(\cos t)\sin\frac{t}{2}=2W_{k}(\cos t)\sin\frac{t}{2}\cos t-W_{k-1}(\cos t)\sin\frac{t}{2} \] となるので、
\[ W_{k+1}(x)=2xW_{k}(x)-W_{k-1}(x) \]
ページ情報
| タイトル | 第3種・第4種チェビシェフ多項式の漸化式 |
| URL | https://www.nomuramath.com/adz79nri/ |
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チェビシェフ多項式の級数表示
\[
T_{n}(x)=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }\left(C(n,2k)\left(-1\right)^{k}\left(1-x^{2}\right)^{k}x^{n-2k}\right)
\]
第2種チェビシェフ多項式の因数分解
\[
U_{2n-1}(x)=2U_{n-1}(x)T_{n}(x)
\]
チェビシェフ多項式の積表示
\[
T_{n}(x)=2^{n}\prod_{k=1}^{n}\left(x-\cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)\right)
\]
(*)チェビシェフ多項式のロドリゲス公式
\[
T_{n}(x)=\frac{(-1)^{n}\sqrt{\pi}\sqrt{1-x^{2}}}{2^{n}\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(1-x^{2}\right)^{n-\frac{1}{2}}
\]