第3種・第4種チェビシェフ多項式の直交性
第3種・第4種チェビシェフ多項式の直交性
(1)
\[ \int_{-1}^{1}V_{m}(x)V_{n}(x)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}dx=\pi\delta_{mn} \](2)
\[ \int_{-1}^{1}W_{m}(x)W_{n}(x)\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}dx=\pi\delta_{mn} \](1)
\begin{align*} \int_{-1}^{1}V_{m}(x)V_{n}(x)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}dx & =-\int_{\pi}^{0}V_{m}(\cos t)V_{n}(\cos t)\sqrt{\frac{1+\cos t}{1-\cos t}}\sin tdt\qquad,\qquad x=\cos t\\ & =\int_{0}^{\pi}\frac{\cos\left(\left(m+\frac{1}{2}\right)t\right)}{\cos\left(\frac{1}{2}t\right)}\frac{\cos\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{\cos\left(\frac{1}{2}t\right)}\sqrt{\frac{1+\cos t}{1-\cos t}}\sin tdt\\ & =\int_{0}^{\pi}\cos\left(\left(m+\frac{1}{2}\right)t\right)\cos\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)\sqrt{\frac{1+\cos t}{1-\cos t}}\frac{2\sin t}{1+\cos t}dt\\ & =2\int_{0}^{\pi}\cos\left(\left(m+\frac{1}{2}\right)t\right)\cos\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt\\ & =\int_{0}^{\pi}\left\{ \cos\left(\left(m+n+1\right)t\right)+\cos\left(\left(m-n\right)t\right)\right\} dt\\ & =\pi\delta_{mn} \end{align*}(2)
\begin{align*} \int_{-1}^{1}W_{m}(x)W_{n}(x)\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}dx & =-\int_{1}^{-1}W_{m}(-x)W_{n}(-x)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}dx\\ & =(-1)^{m+n}\int_{-1}^{1}(-1)^{m}W_{m}(-x)(-1)^{n}W_{n}(-x)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}dx\\ & =(-1)^{m+n}\int_{-1}^{1}V_{m}(x)V_{n}(x)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}dx\\ & =\pi\delta_{mn} \end{align*}ページ情報
| タイトル | 第3種・第4種チェビシェフ多項式の直交性 |
| URL | https://www.nomuramath.com/y6anqj6z/ |
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第1種チェビシェフ多項式と第2種チェビシェフ多項式の関係
\[
nU_{n-1}(x)=T_{n}'(x)
\]
(*)チェビシェフ多項式のロドリゲス公式
\[
T_{n}(x)=\frac{(-1)^{n}\sqrt{\pi}\sqrt{1-x^{2}}}{2^{n}\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(1-x^{2}\right)^{n-\frac{1}{2}}
\]
第3種・第4種チェビシェフ多項式の定義
\[
V_{n}(x)=\frac{\cos\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\cos^{\bullet}x\right)}{\cos\left(\frac{1}{2}\cos^{\bullet}x\right)}
\]
チェビシェフの微分方程式
\[
\left(1-x^{2}\right)T_{n}''(x)-xT_{n}'(x)+n^{2}T_{n}(x)=0
\]