分母に2乗根と3乗根の積分
\[
\int\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{3}}}dx=2x^{\frac{1}{2}}-3x^{\frac{1}{3}}+6x^{\frac{1}{6}}-6\log\left(1+x^{\frac{1}{6}}\right)+C
\]
\begin{align*}
\int\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{3}}}dx & =\int\frac{1}{\left(x^{\frac{1}{6}}\right)^{3}+\left(x^{\frac{1}{6}}\right)^{2}}dx\\
& =6\int\frac{t^{5}}{t^{3}+t^{2}}dt\qquad,\qquad t=x^{\frac{1}{6}}\\
& =6\int\frac{t^{3}}{t+1}dt\\
& =6\int\left(t^{2}-t+1-\frac{1}{t+1}\right)dt\\
& =2t^{3}-3t^{2}+6t-6\log\left(1+t\right)+C\\
& =2x^{\frac{1}{2}}-3x^{\frac{1}{3}}+6x^{\frac{1}{6}}-6\log\left(1+x^{\frac{1}{6}}\right)+C
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 分母に2乗根と3乗根の積分 |
| URL | https://www.nomuramath.com/dr9jf54q/ |
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分母に正接がある関数の定積分
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{x}{\tan x}dx=?
\]
xのx乗が指数タワーになってる定積分
\[
\int_{0}^{1}\left(x^{x}\right)^{\left(x^{x}\right)^{\left(x^{x}\right)^{\iddots}}}dx=?
\]
対数のルート積分
\[
\int\log^{\frac{1}{2}}xdx=x\log^{\frac{1}{2}}x-\frac{\sqrt{\pi}}{2}erfi\left(\log^{\frac{1}{2}}x\right)+C
\]
分母に1乗と2乗ルートの積分
\[
\int\frac{1}{\left(z\pm1\right)\sqrt{z^{2}-1}}dz=\frac{\sqrt{z^{2}-1}}{\pm z+1}+C
\]