対数のルート積分
\[
\int\log^{\frac{1}{2}}xdx=x\log^{\frac{1}{2}}x-\frac{\sqrt{\pi}}{2}erfi\left(\log^{\frac{1}{2}}x\right)+C
\]
\begin{align*}
\int\log^{\frac{1}{2}}xdx & =x\log^{\frac{1}{2}}x-\frac{1}{2}\int\log^{-\frac{1}{2}}xdx\\
& =x\log^{\frac{1}{2}}x-\int e^{t^{2}}dt+C\cmt{t=\log^{\frac{1}{2}}x}\\
& =x\log^{\frac{1}{2}}x-\frac{\sqrt{\pi}}{2}erfi(t)+C\\
& =x\log^{\frac{1}{2}}x-\frac{\sqrt{\pi}}{2}erfi\left(\log^{\frac{1}{2}}x\right)+C
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 対数のルート積分 |
| URL | https://www.nomuramath.com/dvl6t0gy/ |
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床関数の総和の2乗の定積分
\[
\int_{0}^{1}\left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left\lfloor 2^{k}x\right\rfloor }{3^{k}}\right)^{2}dx=?
\]
分母に正接がある関数の定積分
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{x}{\tan x}dx=?
\]
複素ガンマ関数2つを含む広義積分
\[
\int_{-\infty}^{\infty}\Gamma\left(1-ix\right)\Gamma\left(1+ix\right)dx=?
\]
tanの立方根の積分
\[
\int\sqrt[3]{\tan x}dx=\frac{1}{4}\log\left(\tan^{\frac{4}{3}}x-\tan^{\frac{2}{3}}x+1\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}\tan^{\bullet}\left(\frac{2\tan^{\frac{2}{3}}x-1}{\sqrt{3}}\right)-\frac{1}{2}\log\left(\tan^{\frac{2}{3}}x+1\right)+C
\]