逆2乗の別表示
逆2乗の別表示
\[ \frac{1}{\left(k+1\right)^{2}}=-\int_{0}^{1}x^{k}\log xdx \]
\[ \frac{1}{\left(k+1\right)^{2}}=-\int_{0}^{1}x^{k}\log xdx \]
\begin{align*}
\frac{1}{(k+1)^{2}} & =\frac{1}{(k+1)}\int_{0}^{1}x^{k}dx\\
& =\frac{1}{(k+1)}\left(\left[x^{k+1}\log x\right]_{0}^{1}-\left(k+1\right)\int_{0}^{1}x^{k}\log xdx\right)\\
& =-\int_{0}^{1}x^{k}\log xdx
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 逆2乗の別表示 |
| URL | https://www.nomuramath.com/bjnx3ppm/ |
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max・min関数の性質
\[
\max\left(a,b\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+\left|a-b\right|\right)
\]
母関数の逆演算
\[
a_{n}=\frac{1}{n!}\left[\frac{d^{n}}{dz^{n}}G\left(z\right)\right]_{z=0}
\]
凸関数・狭義凸関数・凹関数・狭義凹関数の基本性質
関数$f$が2回微分可能であるとき、$f''>0$ならば$f$が狭義凸関数となるが、逆は一般的に成り立たない。
指数型不等式
\[
\sgn\left(x^{n+1}\right)\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}\leq\sgn\left(x^{n+1}\right)e^{x}
\]