eのπ乗とπのe乗の大小比較
eのπ乗とπのe乗の大小比較
\[ e^{\pi}\lesseqgtr\pi^{e} \]
\[ e^{\pi}\lesseqgtr\pi^{e} \]
\begin{align*}
\sgn\left(e^{\pi}-\pi^{e}\right) & =\sgn\left(\left(e^{\frac{1}{e}}\right)^{e\pi}-\left(\pi^{\frac{1}{\pi}}\right)^{e\pi}\right)\\
& =\sgn\left(e^{\frac{1}{e}}-\pi^{\frac{1}{\pi}}\right)\\
& =-1\cmt{f(x)=x^{\frac{1}{x}}\text{の増減表より}e<\pi\text{なので}\pi^{\frac{1}{\pi}}<e^{\frac{1}{e}}}
\end{align*}
これより、
\[ \pi^{e}<e^{\pi} \]
\[ \pi^{e}<e^{\pi} \]
ページ情報
| タイトル | eのπ乗とπのe乗の大小比較 |
| URL | https://www.nomuramath.com/jnfug3hd/ |
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