log₂3とlog₃5の大小比較

by nomura · 2020年12月12日

log₂3とlog₃5の大小比較

\log_{2} 3 ⋚ \log_{3} 5

(0)

\begin{aligned} \log_{2} 3 - \log_{3} 5 & = \log_{8} 27 - \log_{9} 25 \\ > \log_{9} 27 - \log_{9} 25 \\ > 0 \end{aligned}

これより、

\log_{3} 5 < \log_{2} 3

\begin{aligned} \log_{2} 3 - \log_{3} 5 & = \frac{1}{2} (\log_{2} 3^{2} - \log_{3} 5^{2}) \\ = \frac{1}{2} (\log_{2} 9 - \log_{3} 25) \\ > \frac{1}{2} (\log_{2} 8 - \log_{3} 27) \\ = \frac{1}{2} (\log_{2} 2^{3} - \log_{3} 3^{3}) \\ = 0 \end{aligned}

これより、

\log_{2} 3 > \log_{3} 5

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ℑ (i^{i}) = 0

\frac{1}{2 \sqrt{2} + \sqrt{3} + 1}

m^{2} - n^{2}

m - n