ライプニッツの法則
ライプニッツの法則
\(f,g\)は\(n\)回微分可能な関数とする。
\[ \left(fg\right)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C(n,k)f^{(k)}g^{(n-k)} \]
\(f,g\)は\(n\)回微分可能な関数とする。
\[ \left(fg\right)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C(n,k)f^{(k)}g^{(n-k)} \]
\(n=0\)のとき成立
\(n=j\)のとき成立すると仮定
\begin{align*} \left(fg\right)^{(j+1)} & =\left(\left(fg\right)^{(j)}\right)'\\ & =\left(\sum_{k=0}^{j}C(j,k)f^{(k)}g^{(j-k)}\right)'\\ & =\sum_{k=0}^{j}C(j,k)\left(f^{(k+1)}g^{(j-k)}+f^{(k)}g^{(j-k+1)}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{j+1}C(j,k-1)f^{(k)}g^{(j-k+1)}+\sum_{k=0}^{j}C(j,k)f^{(k)}g^{(j-k+1)}\\ & =\sum_{k=0}^{j+1}C(j,k-1)f^{(k)}g^{(j-k+1)}+\sum_{k=0}^{j+1}C(j,k)f^{(k)}g^{(j-k+1)}\\ & =\sum_{k=0}^{j+1}\left(C(j,k-1)+C(j,k)\right)f^{(k)}g^{(j-k+1)}\\ & =\sum_{k=0}^{j+1}C(j+1,k)f^{(k)}g^{(j+1-k)} \end{align*} これより\(n=j+1\)でも成立。
故に与式は成り立つ。
\(n=j\)のとき成立すると仮定
\begin{align*} \left(fg\right)^{(j+1)} & =\left(\left(fg\right)^{(j)}\right)'\\ & =\left(\sum_{k=0}^{j}C(j,k)f^{(k)}g^{(j-k)}\right)'\\ & =\sum_{k=0}^{j}C(j,k)\left(f^{(k+1)}g^{(j-k)}+f^{(k)}g^{(j-k+1)}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{j+1}C(j,k-1)f^{(k)}g^{(j-k+1)}+\sum_{k=0}^{j}C(j,k)f^{(k)}g^{(j-k+1)}\\ & =\sum_{k=0}^{j+1}C(j,k-1)f^{(k)}g^{(j-k+1)}+\sum_{k=0}^{j+1}C(j,k)f^{(k)}g^{(j-k+1)}\\ & =\sum_{k=0}^{j+1}\left(C(j,k-1)+C(j,k)\right)f^{(k)}g^{(j-k+1)}\\ & =\sum_{k=0}^{j+1}C(j+1,k)f^{(k)}g^{(j+1-k)} \end{align*} これより\(n=j+1\)でも成立。
故に与式は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | ライプニッツの法則 |
| URL | https://www.nomuramath.com/vmslu9zp/ |
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冪関数と指数関数の積の積分
\[
\int z^{\alpha}e^{\beta z}dz=\frac{z^{\alpha}}{\beta\left(-\beta z\right)^{\alpha}}\Gamma\left(\alpha+1,-\beta z\right)+C
\]
基本関数の微分
\[
\left(a^{x}\right)'=a^{x}\log a
\]
微分と積分の関係
\[
f\left(x\right)=\int_{f^{\bullet}\left(a\right)}^{x}f'\left(x\right)dx-a
\]
部分積分と繰り返し部分積分
\[
\int f(x)g(x)dx=\sum_{k=0}^{n-1}\left(-1\right)^{k}f^{(-(k+1))}(x)g^{(k)}(x)+(-1)^{n}\int f^{(-n)}(x)g^{(n)}(x)dx
\]