1次式の総乗と階乗
1次式の総乗と階乗
\(a,b\in\mathbb{Z}\)とする。
\[ \prod_{k=a}^{b}\left(kn+r\right)=n^{b-a+1}\frac{\left(b+\frac{r}{n}\right)!}{\Gamma\left(a+\frac{r}{n}\right)} \]
\(a,b\in\mathbb{Z}\)とする。
\[ \prod_{k=a}^{b}\left(kn+r\right)=n^{b-a+1}\frac{\left(b+\frac{r}{n}\right)!}{\Gamma\left(a+\frac{r}{n}\right)} \]
(0)
\begin{align*} \prod_{k=a}^{b}\left(kn+r\right) & =n^{b-a+1}\prod_{k=a}^{b}\left(k+\frac{r}{n}\right)\\ & =n^{b-a+1}\prod_{k=a}^{b}\frac{\left(k+\frac{r}{n}\right)!}{\left(k+\frac{r}{n}-1\right)!}\\ & =n^{b-a+1}\frac{\left(b+\frac{r}{n}\right)!}{\Gamma\left(a+\frac{r}{n}\right)} \end{align*}(0)-2
\begin{align*} \prod_{k=a}^{b}\left(kn+r\right) & =\prod_{k=a}^{-1}\left(kn+r\right)\prod_{k=0}^{b}\left(kn+r\right)\\ & =\prod_{k=0}^{a-1}\left(kn+r\right)^{-1}\prod_{k=0}^{b}\left(kn+r\right)\\ & =\left\{ n^{a-1}r\frac{\left(a-1+\frac{r}{n}\right)!}{\frac{r}{n}!}\right\} ^{-1}n^{b}r\frac{\left(b+\frac{r}{n}\right)!}{\frac{r}{n}!}\\ & =n^{b-a+1}\frac{\left(b+\frac{r}{n}\right)!}{\left(a+\frac{r}{n}-1\right)!}\\ & =n^{b-a+1}\frac{\left(b+\frac{r}{n}\right)!}{\Gamma\left(a+\frac{r}{n}\right)} \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 1次式の総乗と階乗 |
| URL | https://www.nomuramath.com/f039zr6h/ |
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ガンマ関数の微分
\[
\frac{d}{dz}\Gamma(z)=\Gamma(z)\psi(z)
\]
ガウスの乗法公式
\[
\Gamma(nz)=\frac{n^{nz-\frac{1}{2}}}{\left(2\pi\right)^{\frac{n-1}{2}}}\prod_{k=0}^{n-1}\Gamma\left(z+\frac{k}{n}\right)
\]
ガンマ関数のハンケル積分表示
\[
\Gamma\left(z\right)=\frac{i}{2\sin\left(\pi z\right)}\int_{C}\left(-\tau\right)^{z-1}e^{-\tau}d\tau
\]
そのままだとΓ(0)になる積分
\[
\int_{0}^{\infty}\left(x^{-1}e^{-x}-\frac{e^{-nx}}{1-e^{-x}}\right)dx=H_{n-1}-\gamma
\]