第1種・第2種不完全ガンマ関数の漸化式
第1種・第2種不完全ガンマ関数の漸化式
(1)
\[ \gamma\left(a+1,x\right)=a\gamma\left(a,x\right)-x^{a}e^{-x} \](2)
\[ \Gamma\left(a+1,x\right)=a\Gamma\left(a,x\right)+x^{a}e^{-x} \]-
\(\gamma\left(a,x\right)\)は第1種不完全ガンマ関数、\(\Gamma\left(a,x\right)\)は第2種不完全ガンマ関数(1)
\begin{align*} \gamma\left(a+1,x\right) & =\int_{0}^{x}t^{a}e^{-t}dt\\ & =-\left[t^{a}e^{-t}\right]_{0}^{x}+a\int_{0}^{x}t^{a-1}e^{-t}dt\\ & =a\gamma\left(a,x\right)-x^{a}e^{-x} \end{align*}(2)
\begin{align*} \Gamma\left(a+1,x\right) & =\int_{x}^{\infty}t^{a}e^{-t}dt\\ & =-\left[t^{a}e^{-t}\right]_{x}^{\infty}+a\int_{x}^{\infty}t^{a-1}e^{-t}dt\\ & =a\Gamma\left(a,x\right)+x^{a}e^{-x} \end{align*}ページ情報
| タイトル | 第1種・第2種不完全ガンマ関数の漸化式 |
| URL | https://www.nomuramath.com/jf1aac7r/ |
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(*)ガンマ関数と複素数
\[
\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{i\theta}}z^{\alpha-1}e^{-z}dz=\Gamma\left(\alpha\right)
\]
ガンマ関数・ディガンマ関数・ポリガンマ関数の定義
\[
\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt
\]
第1種・第2種不完全ガンマ関数の定義
\[
\Gamma\left(a,x\right)=\int_{x}^{\infty}t^{a-1}e^{-t}dt
\]
ガンマ関数を含む極限
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}\frac{\Gamma\left(n\right)}{\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)}=1
\]