第1種・第2種不完全ガンマ関数の微分
第1種・第2種不完全ガンマ関数の微分
(1)
\[ \frac{\partial\gamma\left(a,x\right)}{\partial x}=x^{a-1}e^{-x} \](2)
\[ \frac{\partial\Gamma\left(a,x\right)}{\partial x}=-x^{a-1}e^{-x} \]-
\(\gamma\left(a,x\right)\)は第1種不完全ガンマ関数、\(\Gamma\left(a,x\right)\)は第2種不完全ガンマ関数(1)
\begin{align*} \frac{\partial\gamma\left(a,x\right)}{\partial x} & =\frac{\partial}{\partial x}\int_{0}^{x}t^{a-1}e^{-t}dt\\ & =x^{a-1}e^{-x} \end{align*}(2)
\begin{align*} \frac{\partial\Gamma\left(a,x\right)}{\partial x} & =\frac{\partial}{\partial x}\int_{x}^{\infty}t^{a-1}e^{-t}dt\\ & =-x^{a-1}e^{-x} \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 第1種・第2種不完全ガンマ関数の微分 |
| URL | https://www.nomuramath.com/zr12kgtz/ |
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ガンマ関数の対数とリーマン・ゼータ関数
\[
\log\Gamma\left(x+1\right)=-\gamma x+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\zeta\left(k\right)}{k}x^{k}
\]
ガウスの乗法公式
\[
\Gamma(nz)=\frac{n^{nz-\frac{1}{2}}}{\left(2\pi\right)^{\frac{n-1}{2}}}\prod_{k=0}^{n-1}\Gamma\left(z+\frac{k}{n}\right)
\]
ガンマ関数の半整数値
\[
\Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right)=\frac{(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!}\sqrt{\pi}
\]
偶数と奇数の2重階乗
\[
\left(2n+1\right)!!=2^{n+1}\frac{\left(n+\frac{1}{2}\right)!}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}
\]