多重階乗

(拡張)多重階乗と階乗の関係

by nomura · 2021年3月13日

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(拡張)多重階乗と階乗の関係

n \in N \land \frac{b}{a} \notin Z ∖ N_{0}

とする。

(1)

(a n + b)!_{a} = \frac{a^{n} b!_{a} (n + \frac{b}{a})!}{(\frac{b}{a})!}

(2)

(a n + b)!^{a} = \frac{a^{n} b!^{a} (n + \frac{b}{a})!}{(\frac{b}{a})!}

-

x!_{y}

は多重階乗、

x!^{y}

は拡張多重階乗

(1)

\begin{aligned} (a n + b)!_{a} & = b!_{a} \prod_{j = 1}^{n} (a j + b) \\ = a^{n} b!_{a} \prod_{j = 1}^{n} (j + \frac{b}{a}) \\ = \frac{a^{n} b!_{a} (n + \frac{b}{a})!}{(\frac{b}{a})!} \end{aligned}

(2)

(1)と同じ

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タイトル	(拡張)多重階乗と階乗の関係
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階乗の多重階乗表示

n! = \prod_{k = 0}^{j - 1} (n - k)!_{j}

多重階乗と拡張多重階乗の定義

(x)!^{n} = n^{\frac{x - 1}{n}} \frac{(\frac{x}{n})!}{(\frac{1}{n})!}

拡張多重階乗の漸化式

x!^{n} = x (x - n)!^{n}

ウォリス積分の拡張2重階乗表示

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{n} θ d θ = \frac{(n - 1)!^{2}}{(n)!^{2}} \sqrt{\frac{π}{2}}