(拡張)多重階乗と階乗の関係
(拡張)多重階乗と階乗の関係
\(n\in\mathbb{N}\;\land\;\frac{b}{a}\notin\mathbb{Z}\setminus\mathbb{N}_{0}\)とする。
\(n\in\mathbb{N}\;\land\;\frac{b}{a}\notin\mathbb{Z}\setminus\mathbb{N}_{0}\)とする。
(1)
\[ \left(an+b\right)!_{a}=\frac{a^{n}b!_{a}\left(n+\frac{b}{a}\right)!}{\left(\frac{b}{a}\right)!} \](2)
\[ \left(an+b\right)!^{a}=\frac{a^{n}b!^{a}\left(n+\frac{b}{a}\right)!}{\left(\frac{b}{a}\right)!} \]-
\(x!_{y}\)は多重階乗、\(x!^{y}\)は拡張多重階乗(1)
\begin{align*} \left(an+b\right)!_{a} & =b!_{a}\prod_{j=1}^{n}\left(aj+b\right)\\ & =a^{n}b!_{a}\prod_{j=1}^{n}\left(j+\frac{b}{a}\right)\\ & =\frac{a^{n}b!_{a}\left(n+\frac{b}{a}\right)!}{\left(\frac{b}{a}\right)!} \end{align*}(2)
(1)と同じページ情報
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多重階乗の階乗表示
\[
\left(qn+r\right)!_{n}=r!_{n}n^{q}\frac{\left(q+\frac{r}{n}\right)!}{\left(\frac{r}{n}\right)!}
\]
拡張多重階乗の漸化式
\[
x!^{n}=x\left(x-n\right)!^{n}
\]
負の多重階乗
\[
\left(-\left(qn+r\right)\right)!_{n}=\frac{\left(-1\right)^{q}}{\left(qn-\left(n-r\right)\right)!_{n}}
\]
多重階乗と拡張多重階乗の定義
\[
\left(x\right)!^{n}=n^{\frac{x-1}{n}}\frac{\left(\frac{x}{n}\right)!}{\left(\frac{1}{n}\right)!}
\]