すべての自然数の積(解析接続あり)

by nomura · 2021年4月12日

すべての自然数の積(解析接続あり)

\prod_{k = 1}^{\infty} k = \sqrt{2 π}

\begin{aligned} \prod_{k = 1}^{\infty} k & = \prod_{k = 1}^{\infty} e^{Log k} \\ = \exp (\sum_{k = 1}^{\infty} Log k) \\ = \exp (- {[\sum_{k = 1}^{\infty} - k^{- s} Log k]}_{s = 0}) \\ = \exp (- {[\frac{d}{d s} \sum_{k = 1}^{\infty} k^{- s}]}_{s = 0}) \\ = \exp (- {[\frac{d}{d s} ζ (s)]}_{s = 0}) \\ = \exp (- ζ^{'} (0)) \\ = \exp (Log \sqrt{2 π}) \\ = \sqrt{2 π} \end{aligned}

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\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}} = \frac{π^{2}}{6}

η (s) = (1 - 2^{1 - s}) ζ (s)

ζ (s) = π^{s - 1} 2^{s} \sin \frac{s π}{2} Γ (1 - s) ζ (1 - s)

π^{- \frac{s}{2}} Γ (\frac{s}{2}) ζ (s) = π^{- \frac{1 - s}{2}} Γ (\frac{1 - s}{2}) ζ (1 - s)