偏角の和と積の偏角
偏角の和と積の偏角
\[ \Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right) \] 偏角を\((a,a+2\pi],-2\pi\leq a<0\)とすると、\(\Arg\left(\alpha\right),\Arg\left(\beta\right)\in(a/2,a/2+\pi]\)のとき、
\[ \Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right) \]
\[ \Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right) \] 偏角を\([a,a+2\pi)\)とすると、\(a-\Arg\left(\alpha\right)\leq\Arg\left(\beta\right)<a+\pi-\Arg\left(\alpha\right)\)のとき、
\[ \Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right) \]
\[ \Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right) \]
(1)
偏角を\([a,a+2\pi),-2\pi<a\leq0\)とすると、\(\Arg\left(\alpha\right),\Arg\left(\beta\right)\in[a/2,a/2+\pi)\)のとき、\[ \Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right) \] 偏角を\((a,a+2\pi],-2\pi\leq a<0\)とすると、\(\Arg\left(\alpha\right),\Arg\left(\beta\right)\in(a/2,a/2+\pi]\)のとき、
\[ \Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right) \]
(2)
偏角を\((a,a+2\pi]\)とすると、\(a-\Arg\left(\alpha\right)<\Arg\left(\beta\right)\leq a+\pi-\Arg\left(\alpha\right)\)のとき、\[ \Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right) \] 偏角を\([a,a+2\pi)\)とすると、\(a-\Arg\left(\alpha\right)\leq\Arg\left(\beta\right)<a+\pi-\Arg\left(\alpha\right)\)のとき、
\[ \Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right) \]
(3)
偏角を\((-\pi,\pi]\)とすると\(0\leq\Arg\left(\alpha\right)\;\land\;\Arg\left(\beta\right)\leq0\)のとき、\[ \Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right) \]
(1)
上側は\(a\leq\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)<a+2\pi\)となるので\(\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right)\)が成り立つ。同様に下側は\(a<\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)\leq a+2\pi\)となるので\(\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right)\)が成り立つ。
(2)
\(a-\Arg\left(\alpha\right)<\Arg\left(\beta\right)\leq a+\pi-\Arg\left(\alpha\right)\)より、\(a<\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)\leq a+\pi\)となるので\(\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right)\)が成り立つ。下側も同様に成り立つ。
(3)
\(-\pi\leq\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)<\pi\)となるので、\(\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=\Arg\left(\alpha\beta\right)\)が成り立つ。ページ情報
| タイトル | 偏角の和と積の偏角 |
| URL | https://www.nomuramath.com/azeqmefr/ |
| SNSボタン |
符号関数の偏角・対数
\[
\Log\sgn\alpha=i\Arg\alpha
\]
偏角・対数の極限
\[
\lim_{x\rightarrow\pm0}\left\{ \Arg\left(\alpha x\right)-\Arg\left(x\right)\right\} =\begin{cases}
\Arg\alpha & x\rightarrow+0\\
\Arg\left(-\alpha\right)-\pi & x\rightarrow-0
\end{cases}
\]
対数の指数exp(Log(z))と指数の対数Log(exp(z))の違い
\[
\Re\left(z\right)+i\mod\left(\Im\left(z\right),-2\pi,\pi\right)=\Log\left(\exp\left(z\right)\right)
\]
指数関数の実部と虚部
\[
\left|\alpha^{\beta}\right|=\left|\alpha\right|^{\Re\left(\beta\right)}e^{-\Im\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)}
\]