ヘヴィサイドの階段関数の複素積分表示
ヘヴィサイドの階段関数の複素積分表示
\(x\in\mathbb{R}\)とする。
\begin{align*} H_{\frac{1}{2}}\left(x\right) & =\frac{1}{2\pi i}\lim_{\epsilon\rightarrow0+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{z-i\epsilon}e^{ixz}dz\\ & =-\frac{1}{2\pi i}\lim_{\epsilon\rightarrow0+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{z+i\epsilon}e^{-ixz}dz \end{align*}
\(x\in\mathbb{R}\)とする。
\begin{align*} H_{\frac{1}{2}}\left(x\right) & =\frac{1}{2\pi i}\lim_{\epsilon\rightarrow0+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{z-i\epsilon}e^{ixz}dz\\ & =-\frac{1}{2\pi i}\lim_{\epsilon\rightarrow0+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{z+i\epsilon}e^{-ixz}dz \end{align*}
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\(H\left(x\right)\)はヘヴィサイドの階段関数。(0)
\(x<0\)のとき、
\begin{align*} \lim_{\epsilon\rightarrow0+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{z-i\epsilon}e^{ixz}dz & =\lim_{R\rightarrow\infty}\lim_{\epsilon\rightarrow0+}\left\{ \int_{-R}^{R}\frac{1}{z-i\epsilon}e^{ixz}dz+\int_{C\left(0,R,0\rightarrow\pi\right)}\frac{1}{z-i\epsilon}e^{ixz}dz\right\} \\ & =2\pi i\lim_{\epsilon\rightarrow0+}\Res\left(z=i\epsilon,\frac{1}{z-i\epsilon}e^{ixz}\right)\\ & =2\pi i \end{align*}\(x=0\)のとき、
\begin{align*} \left[\lim_{\epsilon\rightarrow0+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{z-i\epsilon}e^{ixz}dz\right]_{x=0} & =\lim_{\epsilon\rightarrow0+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{z-i\epsilon}dz\\ & =i\pi \end{align*}\(0<x\)のとき、
\begin{align*} \lim_{\epsilon\rightarrow0+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{z-i\epsilon}e^{ixz}dz & =\lim_{R\rightarrow\infty}\lim_{\epsilon\rightarrow0+}\left\{ \int_{-R}^{R}\frac{1}{z-i\epsilon}e^{ixz}dz+\int_{C\left(0,R,0\rightarrow-\pi\right)}\frac{1}{z-i\epsilon}e^{ixz}dz\right\} \\ & =0 \end{align*}-
これより、\begin{align*} \lim_{\epsilon\rightarrow0+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{z-i\epsilon}e^{ixz}dz & =\begin{cases} 0 & x<0\\ \pi i & x=0\\ 2\pi i & 0<x \end{cases} \end{align*} となるので、
\[ H_{\frac{1}{2}}\left(x\right)=\frac{1}{2\pi i}\lim_{\epsilon\rightarrow0+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{z-i\epsilon}e^{ixz}dz \] 下の式の証明をする。
\begin{align*} \lim_{\epsilon\rightarrow0+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{z+i\epsilon}e^{-ixz}dz & =\lim_{\epsilon\rightarrow0+}\int_{\infty}^{-\infty}\frac{1}{-z+i\epsilon}e^{-ix\left(-z\right)}d\left(-z\right)\\ & =-\lim_{\epsilon\rightarrow0+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{z-i\epsilon}e^{ixz}dz\\ & =-2\pi iH_{\frac{1}{2}\left(x\right)} \end{align*} より、
\[ H_{\frac{1}{2}}\left(x\right)=-\frac{1}{2\pi i}\lim_{\epsilon\rightarrow0+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{z+i\epsilon}e^{-ixz}dz \]
ページ情報
| タイトル | ヘヴィサイドの階段関数の複素積分表示 |
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ヘヴィサイドの階段関数と符号関数・絶対値
\[
H_{\frac{1}{2}}\left(\pm x\right)=\frac{1\pm\sgn x}{2}
\]
ヘヴィサイドの階段関数の２定義値を引数に持つ関数の和と差
\[
f\left(H\left(\pm_{1}1\right)\right)\pm_{2}f\left(-H\left(\mp_{1}1\right)\right)=\left(f\left(0\right)+f\left(\pm_{1}1\right)\right)H\left(\pm_{2}1\right)\mp_{1}\left(f\left(0\right)-f\left(\pm_{1}1\right)\right)H\left(\mp_{2}1\right)
\]
ヘヴィサイドの階段関数の微分・積分と微分・積分表示
\[
\frac{dH\left(x\right)}{dx}=\delta\left(x\right)
\]
ヘヴィサイドの階段関数の正数と負数の和と差
\[
H_{a}\left(x\right)+H_{b}\left(-x\right)=1+\left(a+b-1\right)\delta_{0,x}
\]