偏角の三角関数
偏角の三角関数
(1)
\[ \sin\Arg z=\frac{\Im z}{\left|z\right|} \](2)
\[ \cos\Arg z=\frac{\Re z}{\left|z\right|} \](3)
\[ \tan\Arg z=\frac{\Im z}{\Re z} \](1)
\begin{align*} \sin\Arg z & =\frac{e^{i\Arg z}-e^{-i\Arg z}}{2i}\\ & =\frac{\sgn z-\sgn^{-1}z}{2i}\\ & =\frac{1}{2i}\left(\frac{z}{\left|z\right|}-\frac{\left|z\right|}{z}\right)\\ & =\frac{1}{2i}\left(\frac{z\left|z\right|-\overline{z}\left|z\right|}{\left|z\right|^{2}}\right)\\ & =\frac{\Im z}{\left|z\right|} \end{align*}(2)
\begin{align*} \cos\Arg z & =\frac{e^{i\Arg z}+e^{-i\Arg z}}{2}\\ & =\frac{\sgn z+\sgn^{-1}z}{2}\\ & =\frac{1}{2}\left(\frac{z}{\left|z\right|}+\frac{\left|z\right|}{z}\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\frac{z\left|z\right|+\overline{z}\left|z\right|}{\left|z\right|^{2}}\right)\\ & =\frac{\Re z}{\left|z\right|} \end{align*}(3)
\begin{align*} \tan\Arg z & =\frac{\sin\Arg z}{\cos\Arg z}\\ & =\frac{\Im z}{\Re z} \end{align*}ページ情報
| タイトル | 偏角の三角関数 |
| URL | https://www.nomuramath.com/eajvv751/ |
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1と3角関数・双曲線関数
\[
1+\sin z=\left(\cos\frac{z}{2}+\sin\frac{z}{2}\right)^{2}
\]
逆正接関数・逆双曲線正接関数と多重対数関数の関係
\[
\Tan^{\bullet}z=\frac{i}{2}\left(-\Li_{1}\left(iz\right)+\Li_{1}\left(-iz\right)\right)
\]
三角関数と双曲線関数
\[
i\sin x=\sinh\left(ix\right)
\]
逆三角関数と逆双曲線関数の微分
\[
\frac{d}{dx}\sin^{\bullet}x=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
\]