符号関数と絶対値
符号関数と絶対値
(1)
\[ \sgn\left(\left|\alpha\right|\beta\right)=\sgn\beta\cnd{\alpha\ne0} \](2)
\[ \alpha=\sgn\left(\alpha\right)\left|\alpha\right| \](1)
\begin{align*} \sgn\left(\left|\alpha\right|\beta\right) & =\frac{\left|\alpha\right|\beta}{\left|\left|\alpha\right|\beta\right|}\\ & =\frac{\left|\alpha\right|\beta}{\left|\alpha\right|\left|\beta\right|}\\ & =\frac{\beta}{\left|\beta\right|}\\ & =\sgn\beta \end{align*}(2)
\begin{align*} \alpha & =\begin{cases} \frac{\alpha}{\left|\alpha\right|}\left|\alpha\right| & \alpha\ne0\\ 0 & \alpha=0 \end{cases}\\ & =\begin{cases} \sgn\left(\alpha\right)\left|\alpha\right| & \alpha\ne0\\ 0 & \alpha=0 \end{cases}\\ & =\sgn\left(\alpha\right)\left|\alpha\right| \end{align*}ページ情報
| タイトル | 符号関数と絶対値 |
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冪乗の符号関数
\[
\sgn\left(\alpha^{b}\right)=\sgn^{b}\left(\alpha\right)
\]
符号関数とクロネッカーのデルタの関係(逆クロネッカーのデルタ)
\[
\left|\sgn\alpha\right|=1-\delta_{0,\alpha}
\]
積の符号関数
\[
\sgn\left(\alpha\beta\right)=\sgn\left(\alpha\right)\sgn\left(\beta\right)
\]
極限が符号関数になる関数
\[
\lim_{k\rightarrow\infty}\tanh\left(kx\right)=\sgn\left(x\right)
\]