相加平均・相乗平均・調和平均の関係
相加平均・相乗平均・調和平均の関係
\(k\in\mathbb{N}\;,\;0<x_{k}\)とする。
\(k\in\mathbb{N}\;,\;0<x_{k}\)とする。
(1)
\[ \mu_{H}\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)=\frac{\mu_{G}^{\;n}\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)}{\mu_{A}\left(\frac{\left(\prod_{j=1}^{n}x_{k}\right)}{x_{1}},\cdots,\frac{\left(\prod_{j=1}^{n}x_{k}\right)}{x_{n}}\right)} \](2)
\[ \mu_{H}\left(x_{1},x_{2}\right)=\frac{\mu_{G}^{\;2}\left(x_{1},x_{2}\right)}{\mu_{A}\left(x_{1},x_{2}\right)} \]-
\(\mu_{A}\)は相加平均、\(\mu_{G}\)は相乗平均、\(\mu_{H}\)は調和平均。(1)
\begin{align*} \mu_{H}\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right) & =n\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}}\right)^{-1}\\ & =n\left(\prod_{j=1}^{n}x_{k}\right)\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{\left(\prod_{j=1}^{n}x_{k}\right)}{x_{k}}\right)^{-1}\\ & =\frac{\mu_{G}^{\;n}\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)}{\mu_{A}\left(\frac{\left(\prod_{j=1}^{n}x_{k}\right)}{x_{1}},\cdots,\frac{\left(\prod_{j=1}^{n}x_{k}\right)}{x_{n}}\right)} \end{align*}(2)
(1)より、2変数のときは、\[ \mu_{H}\left(x_{1},x_{2}\right)=\frac{\mu_{G}^{\;2}\left(x_{1},x_{2}\right)}{\mu_{A}\left(x_{1},x_{2}\right)} \]
ページ情報
| タイトル | 相加平均・相乗平均・調和平均の関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ri2mtxhi/ |
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独立と無相関の関係
\[
\text{独立}\Rightarrow\text{無相関}
\]
大数の法則
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}P(\left|Y_{n}-\mu\right|\geq\epsilon)=0
\]
相関係数の基本的性質
\[
\rho(X,aY+b)=\rho(X,Y)
\]
期待値の基本的性質
\[
E(XY)=E(X)E(Y)+Cov(X,Y)
\]