(1)

3つのドアをA,B,CとしてドアAが当たる事象をA、ドアAを開ける事象をaで表す。
あなたはドアAを選び、司会者はBを開けたとする。
このとき、ドアAが当たる確率は、
\begin{align*} P\left(A;b\right) & =\frac{P\left(A\cap b\right)}{P\left(b\right)}\\ & =\frac{P\left(b;A\right)P\left(A\right)}{P\left(b\right)}\\ & =\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}\\ & =\frac{1}{3} \end{align*} ドアCが当たる確率は
\begin{align*} P\left(C;b\right) & =\frac{P\left(C\cap b\right)}{P\left(b\right)}\\ & =\frac{P\left(b;C\right)P\left(C\right)}{P\left(b\right)}\\ & =\frac{1\cdot\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}\\ & =\frac{2}{3} \end{align*} これより、ドアを変更するほうが確率が上がる。

(2)

n個のドアを\(A_{1},\cdots,A_{n}\)として、あなたがドア\(A_{n}\)を選択して司会者が\(m\)個のドア\(A_{1},\cdots,A_{m}\)を開けるとする。
このとき、ドア\(A_{n}\)が当たる確率は、
\begin{align*} P\left(A_{n};a_{1}\cap\cdots\cap a_{m}\right) & =\frac{P\left(A_{n}\cap a_{1}\cap\cdots\cap a_{m}\right)}{P\left(a_{1}\cap\cdots\cap a_{m}\right)}\\ & =\frac{P\left(a_{1}\cap\cdots\cap a_{m};A_{n}\right)P\left(A_{n}\right)}{P\left(a_{1}\cap\cdots\cap a_{m}\right)}\\ & =\frac{\frac{1}{C\left(n-1,m\right)}\cdot\frac{1}{n}}{\frac{1}{C\left(n-1,m\right)}}\\ & =\frac{1}{n} \end{align*} ドア\(A_{n-1}\)が当たる確率は、
\begin{align*} P\left(A_{n-1};a_{1}\cap\cdots\cap a_{m}\right) & =\frac{P\left(A_{n-1}\cap a_{1}\cap\cdots\cap a_{m}\right)}{P\left(a_{1}\cap\cdots\cap a_{m}\right)}\\ & =\frac{P\left(a_{1}\cap\cdots\cap a_{m};A_{n-1}\right)P\left(A_{n-1}\right)}{P\left(a_{1}\cap\cdots\cap a_{m}\right)}\\ & =\frac{\frac{1}{C\left(n-2,m\right)}\cdot\frac{1}{n}}{\frac{1}{C\left(n-1,m\right)}}\\ & =\frac{P\left(n-1,m\right)}{nP\left(n-2,m\right)}\\ & =\frac{n-1}{n\left(n-2-m+1\right)}\\ & =\frac{n-1}{n\left(n-m-1\right)} \end{align*} これより、
\begin{align*} P\left(A_{n};a_{1}\cap\cdots\cap a_{m}\right) & =\frac{1}{n}\\ & =\frac{1}{n}\left(\frac{n-1}{\left(n-m-1\right)}-\frac{m}{\left(n-m-1\right)}\right)\\ & \leq\frac{n-1}{n\left(n-m-1\right)}\\ & =P\left(A_{n-1};a_{1}\cap\cdots\cap a_{m}\right) \end{align*} 等号は\(m=0\)なので、司会者が1つでも開けるなら変更するほうが得する。