n番目の素数の式

ウィルソンの定理より\(p\)が1または素数のとき\(\left(p-1\right)!\overset{p}{\equiv}-1\)である。
このとき、\(\frac{\left(p-1\right)!+1}{p}\)は整数になるので\(\cos\left(\frac{\left(p-1\right)!+1}{p}\pi\right)=\pm1\)となり二乗すると、\(\cos^{2}\left(\frac{\left(p-1\right)!+1}{p}\pi\right)=1\)となる。
\(p\)が1または素数でないときは、\(-1<\cos\left(\frac{\left(p-1\right)!+1}{p}\pi\right)<1\)であるので、\(0\leq\cos^{2}\left(\frac{\left(p-1\right)!+1}{p}\pi\right)<1\)となる。
これより、
\[ \left\lfloor \cos^{2}\left(\frac{\left(p-1\right)!+1}{p}\pi\right)\right\rfloor =\begin{cases} 0 & p\text{が1または素数でない}\\ 1 & p\text{が1または素数である} \end{cases} \] となる。
\[ \sum_{j=1}^{k}\left\lfloor \cos^{2}\left(\frac{\left(j-1\right)!+1}{j}\pi\right)\right\rfloor \] は\(k\)までの1または素数の数になる。
すなわち\(k\)までの素数の数+1になる。
ここで\(m,n\in\mathbb{N}\)とすると、
\[ 0<\sqrt[n]{\frac{n}{m}}<\sqrt[n]{n}<\sqrt[e]{e}<2 \] より、
\[ \left\lfloor \sqrt[n]{\frac{n}{m}}\right\rfloor =\begin{cases} 0 & n<m\\ 1 & m\leq n \end{cases} \] となるので、
\[ \left\lfloor \sqrt[n]{\frac{n}{\sum_{j=1}^{k}\left\lfloor \cos^{2}\left(\frac{\left(j-1\right)!+1}{j}\pi\right)\right\rfloor }}\right\rfloor \] は\(k\)までの素数の数+1が\(n\)以下のとき1、より大きいとき0となる。
これは、\(k\)までの素数の数が\(n-1\)以下のとき1、より大きいとき0となる。
すなわち、\(k\)までの素数の数が\(n\)未満のとき1、以上のとき0となる。
この\(k\)について和をとると、
\[ \sum_{k=1}^{2^{n}}\left\lfloor \sqrt[n]{\frac{n}{\sum_{j=1}^{k}\left\lfloor \cos^{2}\left(\frac{\left(j-1\right)!+1}{j}\pi\right)\right\rfloor }}\right\rfloor \] \(k\)は1から\(2^{n}\)まで和をとればいい(要証明)。
この総和で\(k\)までの素数の数が\(n\)未満の数をカウントする、すなわち\(n\)番目の素数-1となる。
これに1を加えると、\(n\)番目の素数となる。