差積の定義と性質
差積の定義と性質
差積の定義
\(n\)個の変数\(x_{1},\cdots,x_{n}\)の差積\(\Delta\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)\)を以下で定義する。
\[ \Delta\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right):=\prod_{1\leq i<j\leq n}\left(x_{i}-x_{j}\right) \]
差積の性質
差積の定義
\(n\)個の変数\(x_{1},\cdots,x_{n}\)の差積\(\Delta\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)\)を以下で定義する。
\[ \Delta\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right):=\prod_{1\leq i<j\leq n}\left(x_{i}-x_{j}\right) \]
差積の性質
(1)
\[ \Delta\left(cx_{1},cx_{2},\cdots,cx_{n}\right)=c^{\frac{n\left(n-1\right)}{2}}\Delta\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right) \](2)
差積\(\Delta\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)\)は交代多項式である。(3)
差積\(\Delta\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)\)と\(n\)次対称群\(S_{n}\)の元\(\sigma\in S_{n}\)があるとき、\(\sgn\left(\sigma\right)=1\Leftrightarrow\Delta^{\sigma}=\Delta\)(1)
\begin{align*} \Delta\left(cx_{1},cx_{2},\cdots,cx_{n}\right) & =\prod_{1\leq i<j\leq n}\left(cx_{i}-cx_{j}\right)\\ & =\prod_{1\leq i<j\leq n}c\left(x_{i}-x_{j}\right)\\ & =c^{\frac{n\left(n-1\right)}{2}}\prod_{1\leq i<j\leq n}\left(x_{i}-x_{j}\right)\\ & =c^{\frac{n\left(n-1\right)}{2}}\Delta\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right) \end{align*}(2)
\(1\leq a<b\leq n\)として任意の互換\(\sigma=\left(a,b\right)\)があるとき、差積\(\Delta\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)=\prod_{1\leq i<j\leq n}\left(x_{i}-x_{j}\right)\)に\(\sigma\)を作用させたとき影響のある項は、\(\left(x_{a}-x_{b}\right)\)と\(m<a\)としたとき\(\left(x_{m}-x_{a}\right),\left(x_{m}-x_{b}\right)\)と\(a<m<b\)としたとき\(\left(x_{a}-x_{m}\right),\left(x_{m}-x_{b}\right)\)と\(b<m\)としたとき\(\left(x_{a}-x_{m}\right),\left(x_{b}-x_{m}\right)\)である。このとき、\(m<a,a<m<b,b<m\)は2個ずつあるので\(\sigma\)を作用させても符号は変わらず\(\left(x_{a}-x_{b}\right)\)の分だけ符号が変わるので、\(\Delta^{\sigma}\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)=-\Delta\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)=\sgn\left(\sigma\right)\Delta\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)\)となる。
また、任意の\(n\)次対称群\(S_{n}\)の元\(\sigma\in S_{n}\)は互換\(\sigma_{1},\sigma_{2},\cdots,\sigma_{r}\)の積で表されるので\(\sigma=\sigma_{1}\sigma_{2}\cdots\sigma_{r}\)となる。
これより、
\begin{align*} \Delta^{\sigma}\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right) & =\Delta^{\sigma_{1}\sigma_{2}\cdots\sigma_{r}}\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)\\ & =\sgn\left(\sigma_{r}\right)\Delta^{\sigma_{1}\sigma_{2}\cdots\sigma_{r-1}}\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)\\ & =\sgn\left(\sigma_{r}\right)\sgn\left(\sigma_{r-1}\right)\Delta^{\sigma_{1}\sigma_{2}\cdots\sigma_{r-2}}\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)\\ & =\cdots\\ & =\sgn\left(\sigma_{r}\right)\sgn\left(\sigma_{r-1}\right)\cdots\sgn\left(\sigma_{2}\right)\sgn\left(\sigma_{1}\right)\Delta\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)\\ & =\sgn\left(\sigma_{1}\right)\sgn\left(\sigma_{2}\right)\cdots\sgn\left(\sigma_{r}\right)\Delta\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)\\ & =\sgn\left(\sigma_{1}\sigma_{2}\cdots\sigma_{r}\right)\Delta\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)\\ & =\sgn\left(\sigma\right)\Delta\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right) \end{align*} となる。
従って、差積\(\Delta\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)\)は交代多項式となる。
(3)
\(\Rightarrow\)
\(\sgn\left(\sigma\right)=1\)であるとき、差積\(\Delta\)は交代多項式なので、\(\Delta^{\sigma}=\sgn\left(\sigma\right)\Delta=\Delta\)となる。従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。
\(\Leftarrow\)
差積\(\Delta\)は交代多項式より\(\Delta=\Delta^{\sigma}=\sgn\left(\sigma\right)\Delta\)となるので、\(\left(1-\sgn\left(\sigma\right)\right)\Delta=0\)となり、\(\Delta\ne0\)なので\(1-\sgn\left(\sigma\right)=0\)となり\(\sgn\left(\sigma\right)=1\)となる。従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。
\(\Leftrightarrow\)
これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。ページ情報
| タイトル | 差積の定義と性質 |
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