整式

ブラーマグプタ2平方恒等式

by nomura · 2022年2月28日

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ブラーマグプタ2平方恒等式

(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = {(a c \pm b d)}^{2} + {(a d \mp b c)}^{2}

\begin{aligned} (a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) & = a^{2} c^{2} + b^{2} d^{2} + a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} \\ = {(a c \pm b d)}^{2} \mp 2 a b c d + a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} \\ = {(a c \pm b d)}^{2} + {(a d \mp b c)}^{2} \end{aligned}

(0)-2

\begin{aligned} {ℜ^{2} (α) + ℑ^{2} (α)} {ℜ^{2} (β) + ℑ^{2} (β)} & = {| α |}^{2} {| β |}^{2} \\ = {| α β |}^{2} \\ = {| {ℜ (α) + ℑ (α) i} {ℜ (β) + ℑ (β)} i |}^{2} \\ = {| ℜ (α) ℜ (β) - ℑ (α) ℑ (β) + i {ℜ (α) ℑ (β) + ℑ (α) ℜ (β)} |}^{2} \\ = {ℜ (α) ℜ (β) - ℑ (α) ℑ (β)}^{2} + {ℜ (α) ℑ (β) + ℑ (α) ℜ (β)}^{2} \end{aligned}

ここで

ℜ (α) = a, ℑ (α) = b, ℜ (β) = c, ℑ (β) = d

とおくと、

(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = {(a c - b d)}^{2} + {(a d + b c)}^{2}

b \to - b

と置き換えると、

(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = {(a c + b d)}^{2} + {(a d - b c)}^{2}

１つにまとめて、

(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = {(a c \pm b d)}^{2} + {(a d \mp b c)}^{2}

となる。

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ページ情報

タイトル	ブラーマグプタ2平方恒等式
URL	https://www.nomuramath.com/pyelbdmt/
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差積の定義と性質

Δ (x_{1}, \dots, x_{n}) := \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_{i} - x_{j})

3次式の実数の範囲で因数分解

a^{3} \pm b^{3} = (a \pm b) (a^{2} \mp a b + b^{2})

交代式の因数分解

交代式 = 差積 \times 対称式

2次式の実数の範囲で因数分解

a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = {(a \pm b)}^{2}