ゼータ関数の絶対収束条件
ゼータ関数の絶対収束条件
ゼータ関数
\[ \zeta\left(s\right)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{s}} \] は\(\Re\left(s\right)>1\)で絶対収束する。
ゼータ関数
\[ \zeta\left(s\right)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{s}} \] は\(\Re\left(s\right)>1\)で絶対収束する。
ゼータ関数が絶対収束するには\(\sum_{k=1}^{\infty}\left|\frac{1}{k^{s}}\right|\)が収束する必要がある。
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}\left|\frac{1}{k^{s}}\right| & =\sum_{k=1}^{\infty}\left|k^{-s}\right|\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\left|k^{-\Re\left(s\right)-i\Im\left(s\right)}\right|\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\left|k^{-\Re\left(s\right)}e^{-i\Im\left(s\right)\log k}\right|\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{\Re\left(s\right)}} \end{align*} これは\(\Re\left(s\right)=1\)のとき調和級数となり発散し、それより各項の大きい\(\Re\left(s\right)<1\)のときも発散するので、\(1<\Re\left(s\right)\)とすると、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}\left|\frac{1}{k^{s}}\right| & =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{\Re\left(s\right)}}\\ & =1+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k^{\Re\left(s\right)}}\\ & =1+\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{\Re\left(s\right)}}dx\\ & =1+\left[\frac{x^{1-\Re\left(s\right)}}{1-\Re\left(s\right)}\right]_{1}^{\infty}\\ & =1-\frac{1}{1-\Re\left(s\right)}\\ & =1+\frac{1}{\Re\left(s\right)-1}\\ & <\infty \end{align*} となり収束する。
故にゼータ関数\(\zeta\left(s\right)\)は\(\Re\left(s\right)>1\)で絶対収束する。
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}\left|\frac{1}{k^{s}}\right| & =\sum_{k=1}^{\infty}\left|k^{-s}\right|\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\left|k^{-\Re\left(s\right)-i\Im\left(s\right)}\right|\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\left|k^{-\Re\left(s\right)}e^{-i\Im\left(s\right)\log k}\right|\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{\Re\left(s\right)}} \end{align*} これは\(\Re\left(s\right)=1\)のとき調和級数となり発散し、それより各項の大きい\(\Re\left(s\right)<1\)のときも発散するので、\(1<\Re\left(s\right)\)とすると、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}\left|\frac{1}{k^{s}}\right| & =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{\Re\left(s\right)}}\\ & =1+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k^{\Re\left(s\right)}}\\ & =1+\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{\Re\left(s\right)}}dx\\ & =1+\left[\frac{x^{1-\Re\left(s\right)}}{1-\Re\left(s\right)}\right]_{1}^{\infty}\\ & =1-\frac{1}{1-\Re\left(s\right)}\\ & =1+\frac{1}{\Re\left(s\right)-1}\\ & <\infty \end{align*} となり収束する。
故にゼータ関数\(\zeta\left(s\right)\)は\(\Re\left(s\right)>1\)で絶対収束する。
ページ情報
| タイトル | ゼータ関数の絶対収束条件 |
| URL | https://www.nomuramath.com/qnpsd35a/ |
| SNSボタン |
ζ(2)の値
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}
\]
(*)フルヴィッツの公式
\[
\zeta\left(1-s,a\right)=\frac{\Gamma\left(s\right)}{\left(2\pi\right)^{s}}\left\{ e^{-i\frac{\pi s}{2}}\Li_{s}\left(e^{2\pi ia}\right)+e^{i\frac{\pi s}{2}}\Li_{s}\left(e^{-2\pi ia}\right)\right\}
\]
フルヴィッツ・ゼータ関数の第2引数での微分とテーラー展開
\[
\frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\zeta\left(s,z\right)=P\left(-s,n\right)\zeta\left(s+n,z\right)
\]
リーマン・ゼータ関数を含む総和
\[
\sum_{k=2}^{\infty}\frac{\zeta\left(k\right)-1}{k}=1-\gamma
\]