エジプト式分数の個数
エジプト式分数の個数
エジプト式分数は無数に存在する。
エジプト式分数は無数に存在する。
ある分数\(\frac{a}{b}\)のエジプト式分数の最小(分母が最大)の単位分数が\(\frac{1}{m}\)とする。
このとき、
\begin{align*} \frac{1}{m} & =\frac{m+1}{m\left(m+1\right)}\\ & =\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m\left(m+1\right)} \end{align*} とすれば新しいエジプト式分数が作れるのでこれを繰り返せば無数にエジプト式分数を作れる。
故に題意は成り立つ。
このとき、
\begin{align*} \frac{1}{m} & =\frac{m+1}{m\left(m+1\right)}\\ & =\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m\left(m+1\right)} \end{align*} とすれば新しいエジプト式分数が作れるのでこれを繰り返せば無数にエジプト式分数を作れる。
故に題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | エジプト式分数の個数 |
| URL | https://www.nomuramath.com/aqnlfi2y/ |
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max・min関数の性質
\[
\max\left(a,b\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+\left|a-b\right|\right)
\]
巾関数の積分表現
\[
\frac{1}{z^{\alpha}}=\frac{1}{\Gamma\left(\alpha\right)}\int_{0}^{\infty}t^{\alpha-1}e^{-zt}dt
\]
指数型不等式
\[
\sgn\left(x^{n+1}\right)\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}\leq\sgn\left(x^{n+1}\right)e^{x}
\]
逆2乗の別表示
\[
\frac{1}{\left(k+1\right)^{2}}=-\int_{0}^{1}x^{k}\log xdx
\]