(0)

\begin{align*} \left(x+y+z\right)^{3}-\left(x^{3}+y^{3}+z^{3}\right) & =\left(x+y+z\right)^{3}-\left(\left(x+y\right)^{3}-3xy\left(x+y\right)+z^{3}\right)\\ & =\left(x+y+z\right)^{3}-\left(\left(x+y+z\right)^{3}-3\left(x+y\right)z\left(x+y+z\right)-3xy\left(x+y\right)\right)\\ & =3\left(x+y\right)z\left(x+y+z\right)+3xy\left(x+y\right)\\ & =3\left(x+y\right)\left(z\left(x+y+z\right)+xy\right)\\ & =3\left(x+y\right)\left(x\left(y+z\right)+z\left(y+z\right)\right)\\ & =3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right) \end{align*}

(0)-2

与式を\(f\left(x,y,z\right)\)とおくと、\(f\left(-y,y,z\right)=0\)なので\(x+y\)を因数に持つ。
また与式は\(x,y,z\)について対称なので、\(y+z\)と\(z+x\)も因数に持つので、\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)を因数に持ち、これで3次になるので定数倍の違いだけになる。
これより、\(k\)を定数として、\(f\left(x,y,z\right)=k\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)と表され、\(f\left(1,1,1\right)=\left(1+1+1\right)^{3}-\left(1^{3}+1^{3}+1^{3}\right)=k\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)\)より、\(3^{3}-3=2^{3}k\)となり、\(k=3\)となる。
故に、\(3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)と因数分解出来る。