x²-x+1で割った余り
x²-x+1で割った余り
\(x^{1000}\)を\(x^{2}-x+1\)で割った余りを求めよ。
\(x^{1000}\)を\(x^{2}-x+1\)で割った余りを求めよ。
\begin{align*}
x^{1000} & =x\left(x^{3}\right)^{333}\\
& =x\left(\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)-1\right)^{333}\\
& =x\sum_{k=0}^{333}C\left(333,k\right)\left(-1\right)^{333-k}\left(\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)\right)^{k}\\
& =x\left(C\left(333,0\right)\left(-1\right)^{333}\left(\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)\right)^{0}+\sum_{k=1}^{333}C\left(333,k\right)\left(-1\right)^{333-k}\left(\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)\right)^{k}\right)\\
& =x\left(-1+\sum_{k=1}^{333}C\left(333,k\right)\left(-1\right)^{333-k}\left(\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)\right)^{k}\right)\\
& =-x+\sum_{k=1}^{333}xC\left(333,k\right)\left(-1\right)^{333-k}\left(\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)\right)^{k}
\end{align*}
となるのでこれより、余りは\(-x\)となる。
ページ情報
| タイトル | x²-x+1で割った余り |
| URL | https://www.nomuramath.com/a8osbymi/ |
| SNSボタン |
log₂3とlog₃5の大小比較
\[
\log_{2}3\lesseqgtr\log_{3}5
\]
3乗根の有理化
\[
\frac{1}{2\cdot3^{\frac{2}{3}}+3\cdot3^{\frac{1}{3}}+2}\text{の有理化}
\]
3次式の5乗を2次式で割った余り
$\left(x^{3}+x^{2}+x+1\right)^{5}$を$x^{2}-x+1$で割った余りは？
有理式のルートが整数になる問題
\[
\sqrt{\frac{n^{2}+83}{n^{2}+2}}\text{が整数となる}n
\]