カントールの対関数の定義
カントールの対関数の定義
カントールの対関数\(\pi:\mathbb{N}_{0}\times\mathbb{N}_{0}\rightarrow\mathbb{N}_{0}\)は以下で定義される。
\[ \pi\left(m,n\right)=\frac{\left(m+n\right)\left(m+n+1\right)}{2}+n \] また、\(m\rightarrow m-1,n\rightarrow n-1,\pi\rightarrow\pi^{\prime}-1\)とすれば、
\[ \pi^{\prime}\left(m,n\right)=\frac{\left(m+n-2\right)\left(m+n-1\right)}{2}+n \] となり、\(\pi^{\prime}:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\)である。
カントールの対関数\(\pi:\mathbb{N}_{0}\times\mathbb{N}_{0}\rightarrow\mathbb{N}_{0}\)は以下で定義される。
\[ \pi\left(m,n\right)=\frac{\left(m+n\right)\left(m+n+1\right)}{2}+n \] また、\(m\rightarrow m-1,n\rightarrow n-1,\pi\rightarrow\pi^{\prime}-1\)とすれば、
\[ \pi^{\prime}\left(m,n\right)=\frac{\left(m+n-2\right)\left(m+n-1\right)}{2}+n \] となり、\(\pi^{\prime}:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\)である。
カントールの対関数の一覧
\[ \begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 9 & 54 & 64 & 75 & 87 & 100 & 114 & 129 & 145 & 162 & 180\\ \hline 8 & 44 & 53 & 63 & 74 & 86 & 99 & 113 & 128 & 144 & 161\\ \hline 7 & 35 & 43 & 52 & 62 & 73 & 85 & 98 & 112 & 127 & 143\\ \hline 6 & 27 & 34 & 42 & 51 & 61 & 72 & 84 & 97 & 111 & 126\\ \hline 5 & 20 & 26 & 33 & 41 & 50 & 60 & 71 & 83 & 96 & 110\\ \hline 4 & 14 & 19 & 25 & 32 & 40 & 49 & 59 & 70 & 82 & 95\\ \hline 3 & 9 & 13 & 18 & 24 & 31 & 39 & 48 & 58 & 69 & 81\\ \hline 2 & 5 & 8 & 12 & 17 & 23 & 30 & 38 & 47 & 57 & 68\\ \hline 1 & 2 & 4 & 7 & 11 & 16 & 22 & 29 & 37 & 46 & 56\\ \hline 0 & 0 & 1 & 3 & 6 & 10 & 15 & 21 & 28 & 36 & 45\\ \hline\hline \pi\left(m,n\right)\;,\;n/m & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\\hline \end{array} \]
\[ \begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 9 & 54 & 64 & 75 & 87 & 100 & 114 & 129 & 145 & 162 & 180\\ \hline 8 & 44 & 53 & 63 & 74 & 86 & 99 & 113 & 128 & 144 & 161\\ \hline 7 & 35 & 43 & 52 & 62 & 73 & 85 & 98 & 112 & 127 & 143\\ \hline 6 & 27 & 34 & 42 & 51 & 61 & 72 & 84 & 97 & 111 & 126\\ \hline 5 & 20 & 26 & 33 & 41 & 50 & 60 & 71 & 83 & 96 & 110\\ \hline 4 & 14 & 19 & 25 & 32 & 40 & 49 & 59 & 70 & 82 & 95\\ \hline 3 & 9 & 13 & 18 & 24 & 31 & 39 & 48 & 58 & 69 & 81\\ \hline 2 & 5 & 8 & 12 & 17 & 23 & 30 & 38 & 47 & 57 & 68\\ \hline 1 & 2 & 4 & 7 & 11 & 16 & 22 & 29 & 37 & 46 & 56\\ \hline 0 & 0 & 1 & 3 & 6 & 10 & 15 & 21 & 28 & 36 & 45\\ \hline\hline \pi\left(m,n\right)\;,\;n/m & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\\hline \end{array} \]
ページ情報
| タイトル | カントールの対関数の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ydgkga0t/ |
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カントールの対関数の性質
\[
\pi\left(m+1,n\right)=\pi\left(m,n\right)+m+n+1
\]
カントールの対関数の漸化式
\[
\pi\left(m,n\right)+1=\begin{cases}
\pi\left(m-1,n+1\right) & m\ne0\\
\pi\left(n+1,0\right) & m=0
\end{cases}
\]
カントールの対関数の逆関数
\[
\begin{cases}
m=\frac{t^{2}+3t}{2}-\pi\\
n=\pi-\frac{t^{2}+t}{2}
\end{cases}
\]