(1)

\begin{align*} \pi\left(m+1,n\right) & =\frac{\left(m+n+1\right)\left(m+n+2\right)}{2}+n\\ & =\frac{\left(m+n+1\right)\left(m+n\right)+2\left(m+n+1\right)}{2}+n\\ & =\frac{\left(m+n+1\right)\left(m+n\right)}{2}+n+\left(m+n+1\right)\\ & =\pi\left(m,n\right)+m+n+1 \end{align*}

(2)

\begin{align*} \pi\left(m,n+1\right) & =\frac{\left(m+n+1\right)\left(m+n+2\right)}{2}+n+1\\ & =\frac{\left(m+n+1\right)\left(m+n\right)+2\left(m+n+1\right)}{2}+n+1\\ & =\frac{\left(m+n+1\right)\left(m+n\right)}{2}+n+\left(m+n+2\right)\\ & =\pi\left(m,n\right)+m+n+2 \end{align*}

(3)

\(m\ne0\)のとき、
漸化式より、
\begin{align*} \pi\left(m,n\right) & =\pi\left(m-1,n+1\right)-1\\ & =\pi\left(m+n,0\right)-\sum_{k=0}^{n-1}\left\{ \pi\left(m+k+1,n-k-1\right)-\pi\left(m+k,n-k\right)\right\} \\ & =\pi\left(m+n,0\right)+\sum_{k=0}^{n-1}1\\ & =\pi\left(m+n,0\right)+n \end{align*} \(m=0\)のとき、
漸化式より、
\begin{align*} \pi\left(0,n\right) & =\pi\left(n+1,0\right)-1\\ & =\pi\left(n,0\right)+n+1-1\\ & =\pi\left(n,0\right)+n \end{align*} となるので\(m\ne0\)の式で\(m=0\)でも成り立つ。
これより、与式は成り立つ。

(4)

\(m\ne0\)のとき、
漸化式より、
\begin{align*} \pi\left(m,n\right) & =\pi\left(m-1,n+1\right)-1\\ & =\pi\left(0,m+n\right)+\sum_{k=0}^{m-1}\left\{ \pi\left(m-k,n+k\right)-\pi\left(m-k-1,n+k+1\right)\right\} \\ & =\pi\left(0,m+n\right)-\sum_{k=0}^{m-1}1\\ & =\pi\left(0,m+n\right)-m \end{align*} この式は\(m=0\)でも成り立ってる。
故に与式は成り立つ。

(5)

(3)(4)より、
\[ \pi\left(m+n,0\right)+n=\pi\left(0,m+n\right)-m \] となるので、
\[ \pi\left(m+n,0\right)+m+n=\pi\left(0,m+n\right) \] これより、\(m+n\rightarrow m\)とすると、
\[ \pi\left(m,0\right)+m=\pi\left(0,m\right) \] となる。