ハイバー演算子の定義
ハイバー演算子の定義
\begin{align*} H_{n}\left(a,b\right): & =a^{\left(n\right)}b\\ & :=\begin{cases} b+1 & n=0\\ a+b & n=1\\ \underbrace{a^{\left(n-1\right)}a^{\left(n-1\right)}\cdots a^{\left(n-1\right)}a}_{b\;copies\;of\;a} & n=2,3,\cdots \end{cases}\\ & =\begin{cases} b+1 & n=0\\ a+b & n=1\\ a^{\left(n-1\right)}a^{\left(n\right)}\left(b-1\right) & n=2,3,\cdots \end{cases} \end{align*}
(1)定義
\(b,n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。\begin{align*} H_{n}\left(a,b\right): & =a^{\left(n\right)}b\\ & :=\begin{cases} b+1 & n=0\\ a+b & n=1\\ \underbrace{a^{\left(n-1\right)}a^{\left(n-1\right)}\cdots a^{\left(n-1\right)}a}_{b\;copies\;of\;a} & n=2,3,\cdots \end{cases}\\ & =\begin{cases} b+1 & n=0\\ a+b & n=1\\ a^{\left(n-1\right)}a^{\left(n\right)}\left(b-1\right) & n=2,3,\cdots \end{cases} \end{align*}
(2)ハイバー演算子の優先順位
\[ a^{\left(m\right)}b^{\left(n\right)}c:=a^{\left(m\right)}\left(b^{\left(n\right)}c\right) \]\(n\geq2\)のとき、
\begin{align*} a^{\left(n\right)}b & =\underbrace{a^{\left(n-1\right)}a^{\left(n-1\right)}\cdots a^{\left(n-1\right)}a}_{b\;copies\;of\;a}\\ & =a^{\left(n-1\right)}\underbrace{a^{\left(n-1\right)}\cdots a^{\left(n-1\right)}a}_{b-1\;copies\;of\;a}\\ & =a^{\left(n-1\right)}a^{\left(n\right)}\left(b-1\right) \end{align*} となる。
\(H_{1}\left(a,b\right)=a+b\)
\(H_{2}\left(a,b\right)=ab\)
\(H_{3}\left(a,b\right)=a^{b}\)
\(H_{4}\left(a,b\right)=\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}_{height\;b}\)
\(H_{4}\)はテトレーション (tetration)、\(H_{5}\)はペンテーション (pentation)、\(H_{6}\)はヘキセーション(hexation)という。
\begin{align*} a^{\left(n\right)}b & =\underbrace{a^{\left(n-1\right)}a^{\left(n-1\right)}\cdots a^{\left(n-1\right)}a}_{b\;copies\;of\;a}\\ & =a^{\left(n-1\right)}\underbrace{a^{\left(n-1\right)}\cdots a^{\left(n-1\right)}a}_{b-1\;copies\;of\;a}\\ & =a^{\left(n-1\right)}a^{\left(n\right)}\left(b-1\right) \end{align*} となる。
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\(H_{0}\left(a,b\right)=b+1\)\(H_{1}\left(a,b\right)=a+b\)
\(H_{2}\left(a,b\right)=ab\)
\(H_{3}\left(a,b\right)=a^{b}\)
\(H_{4}\left(a,b\right)=\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}_{height\;b}\)
\(H_{4}\)はテトレーション (tetration)、\(H_{5}\)はペンテーション (pentation)、\(H_{6}\)はヘキセーション(hexation)という。
ページ情報
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クヌースの矢印表記の定義
\[
a\uparrow^{n}b:=\begin{cases}
ab & n=0\\
1 & n\geq1\;\land\;b=0\\
\underbrace{a\uparrow^{n-1}a\uparrow^{n-1}\cdots\uparrow^{n-1}a}_{b\;copies\;of\;a} & otherwise
\end{cases}
\]
テトレーションの微分
\[
\frac{d}{dz}\left(z\uparrow^{2}n\right)=\frac{1}{z}\sum_{k=1}^{n}\left(\log^{k-1}z\right)\prod_{j=n-k}^{n}\left(z\uparrow^{2}j\right)
\]
ハイパー演算子とクヌースの矢印表記の(2,2)の値
\[
2\uparrow^{n}2=4-\delta_{-2,n}
\]
コンウェイのチェーン表記の定義
\[
X\rightarrow\left(a+1\right)\rightarrow\left(b+1\right)=X\rightarrow\left\{ X\rightarrow a\rightarrow\left(b+1\right)\right\} \rightarrow b
\]