(1)

\begin{align*} a\rightarrow b\rightarrow0 & =a\uparrow^{0}b\\ & =ab \end{align*}

(2)

\begin{align*} a\rightarrow0\rightarrow b & =a\uparrow^{b}0\\ & =1-\delta_{0b} \end{align*}

(3)

\[ X\rightarrow a\rightarrow b=X\rightarrow\left\{ X\rightarrow\left(a-1\right)\rightarrow b\right\} \rightarrow b-1 \] なので、これを繰り返すと、右端が1となりチェーンが1短くなる、または右側から2番目の数字が1になりそれ以降の数字が消せるので、
\[ X\rightarrow a\rightarrow b=X\rightarrow c \] となる正の整数が存在する。

(4)

\(X\)が長さ0のチェーンの場合は1となるので、\(a\rightarrow X=a\)となる。
\(X\)が長さ1のチェーンの場合は正の整数\(b\)となるので、\(a\rightarrow X=a^{b}\)となる。
\(X\)が長さ2以上のチェーンの場合は長さ1以上のチェーン\(Y\)を用いて\(a\rightarrow X=a\rightarrow p\rightarrow Y=a\rightarrow p\rightarrow q=a\uparrow^{q}p=a^{b}\)となる。
これより、任意の\(X\)のチェーンの長さに対して\(a\rightarrow X=a^{b}\)が成り立つ。

(5)

(4)で\(a=1\)とすればいい。

(6)

\(Y\)が長さ0のチェーンの場合は1となるので、\(X\rightarrow1\rightarrow Y=X\)となる。
\(Y\)が長さ1のチェーンの場合は\(X\rightarrow1\rightarrow Y=X\rightarrow1\rightarrow a=X\)となる。
\(Y\)が長さ2以上のチェーンの場合は\(X\rightarrow1\rightarrow Y=X\rightarrow1\rightarrow a=X\)となる。
これより、任意の\(X\)のチェーンの長さに対して\(X\rightarrow1\rightarrow Y=X\)が成り立つ。

(7)

\begin{align*} 2\rightarrow2\rightarrow X & =2\rightarrow2\rightarrow a\\ & =2\uparrow^{a}2\\ & =4 \end{align*}

(8)

\begin{align*} X\rightarrow2\rightarrow2 & =X\rightarrow\left(X\rightarrow1\rightarrow2\right)\rightarrow1\\ & =X\rightarrow\left(X\right) \end{align*}

(9)

\begin{align*} a+b & =a\uparrow^{-1}b\\ & =a\rightarrow b\rightarrow\left(-1\right) \end{align*}

(9)-2

\begin{align*} ac & =a\rightarrow c\rightarrow0\\ & =a\rightarrow\left(a\rightarrow\left(c-1\right)\rightarrow0\right)\rightarrow\left(-1\right)\\ & =a\rightarrow\left(a\left(c-1\right)\right)\rightarrow\left(-1\right) \end{align*} となるので、\(\left(a\left(c-1\right)\right)=b\)とおくと\(c=\frac{b}{a}+1\)となり、
\begin{align*} a\rightarrow b\rightarrow\left(-1\right) & =a\left(\frac{b}{a}+1\right)\\ & =a+b \end{align*} となるので、与式は成り立つ。

(10)

\begin{align*} \frac{a}{b} & =a\uparrow b^{-1}\\ & =a\rightarrow b^{-1}\rightarrow0\\ & =a\rightarrow\left(b\rightarrow\left(-1\right)\right)\rightarrow0 \end{align*}

(11)

\begin{align*} a\rightarrow n\rightarrow2 & =H_{4}\left(a,n\right)\\ & =\log_{a}a^{a\uparrow^{2}n}\\ & =\log_{a}\left(a\uparrow a\uparrow^{2}n\right)\\ & =\log_{a}\left(a\uparrow^{2}\left(n+1\right)\right)\\ & =\log_{a}H_{4}\left(a,n+1\right) \end{align*}

(12)

\begin{align*} a\rightarrow\left(-1\right)\rightarrow2 & =H_{4}\left(a,-1\right)\\ & =\log H_{4}\left(a,0\right)\\ & =\log1\\ & =0 \end{align*}

(12)-2

\begin{align*} a\rightarrow\left(-1\right)\rightarrow2 & =\log_{a}\left\{ a\rightarrow\left(a\rightarrow\left(-1\right)\rightarrow2\right)\rightarrow1\right\} \\ & =\log_{a}\left(a\rightarrow0\rightarrow2\right)\\ & =\log_{a}\left(1-\delta_{02}\right)\\ & =0 \end{align*}