テトレーションと対数
テトレーションと対数
\[ H_{4}\left(a,n\right)=\log_{a}^{m\circ}H_{4}\left(a,n+m\right) \]
(1)
\(n,m\in\mathbb{Z}\)とする。\[ H_{4}\left(a,n\right)=\log_{a}^{m\circ}H_{4}\left(a,n+m\right) \]
(2)
\[ H_{4}\left(a,-1\right)=0 \]-
\(H_{n}\left(a,b\right)\)はハイパー演算子(1)
\begin{align*} H_{4}\left(a,n\right) & =a\uparrow^{2}n\\ & =\log_{a}\left\{ a\uparrow\left(a\uparrow^{2}n\right)\right\} \\ & =\log_{a}\left\{ a\uparrow^{2}\left(n+1\right)\right\} \\ & =\log_{a}H_{4}\left(a,n+1\right)\\ & =\log_{a}^{m\circ}H_{4}\left(a,n+m\right)+\sum_{k=1}^{m}\left\{ \log_{a}^{\left(k-1\right)\circ}H_{4}\left(a,n+k-1\right)-\log_{a}^{k\circ}H_{4}\left(a,n+k\right)\right\} \\ & =\log_{a}^{m\circ}H_{4}\left(a,n+m\right) \end{align*}(2)
(1)より、\begin{align*} H_{4}\left(a,-1\right) & =\log_{a}H_{4}\left(a,0\right)\\ & =\log_{a}1\\ & =0 \end{align*}
ページ情報
タイトル | テトレーションと対数 |
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ハイパー演算子とクヌースの矢印表記の(2,2)の値
\[
2\uparrow^{n}2=4-\delta_{-2,n}
\]
2年生の夢(高さ2のテトレーションの0から1までの定積分)
\[
\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{x}}dx=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{k}}
\]
テトレーションの微分
\[
\frac{d}{dz}\left(z\uparrow^{2}n\right)=\frac{1}{z}\sum_{k=1}^{n}\left(\log^{k-1}z\right)\prod_{j=n-k}^{n}\left(z\uparrow^{2}j\right)
\]
クヌースの矢印表記の定義
\[
a\uparrow^{n}b:=\begin{cases}
ab & n=0\\
1 & n\geq1\;\land\;b=0\\
\underbrace{a\uparrow^{n-1}a\uparrow^{n-1}\cdots\uparrow^{n-1}a}_{b\;copies\;of\;a} & otherwise
\end{cases}
\]