(1)

異分割は、
\[ P_{d}\left(k\right)=\sum_{k_{1}=0}^{1}\sum_{k_{2}=0}^{1}\cdots\delta_{k,1k_{1}+2k_{2}+\cdots} \] であるので、
\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty}P_{d}\left(k\right)z^{k} & =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{k_{1}=0}^{1}\sum_{k_{2}=0}^{1}\cdots\delta_{k,1k_{1}+2k_{2}+\cdots}z^{k}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{k_{1}=0}^{1}\sum_{k_{2}=0}^{1}\cdots\delta_{k,1k_{1}+2k_{2}+\cdots}z^{1k_{1}+2k_{2}+\cdots}\\ & =\sum_{k_{1}=0}^{1}\sum_{k_{2}=0}^{1}\cdots z^{1k_{1}+2k_{2}+\cdots}\\ & =\sum_{k_{1}=0}^{1}z^{k_{1}}\sum_{k_{2}=0}^{1}z^{2k_{2}}\cdots\\ & =\left(1+z\right)\left(1+z^{2}\right)\cdots\\ & =\prod_{k=1}^{\infty}\left(1+z^{k}\right) \end{align*} となる。

(2)

奇分割は、
\[ P_{d}\left(k\right)=\sum_{k_{1}=0}^{\infty}\sum_{k_{3}=0}^{\infty}\cdots\delta_{k,1k_{1}+3k_{3}+\cdots} \] であるので、
\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty}P_{o}\left(k\right)z^{k} & =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{k_{1}=0}^{\infty}\sum_{k_{3}=0}^{\infty}\cdots\delta_{k,1k_{1}+3k_{3}+\cdots}z^{k}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{k_{1}=0}^{\infty}\sum_{k_{3}=0}^{\infty}\cdots\delta_{k,1k_{1}+3k_{3}+\cdots}z^{1k_{1}+3k_{3}+\cdots}\\ & =\sum_{k_{1}=0}^{\infty}\sum_{k_{3}=0}^{\infty}\cdots z^{1k_{1}+3k_{3}+\cdots}\\ & =\sum_{k_{1}=0}^{\infty}z^{k_{1}}\sum_{k_{3}=0}^{\infty}z^{3k_{2}}\cdots\\ & =\left(\frac{1}{1-z}\right)\left(\frac{1}{1-z^{3}}\right)\cdots\\ & =\prod_{k=1}^{\infty}\frac{1}{1-z^{2k-1}} \end{align*} となる。

(3)

\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty}P_{d}\left(k\right)z^{k} & =\prod_{k=1}^{\infty}\left(1+z^{k}\right)\\ & =\prod_{k=1}^{\infty}\frac{\left(1+z^{k}\right)\left(1-z^{k}\right)}{\left(1-z^{k}\right)}\\ & =\prod_{k=1}^{\infty}\frac{\left(1-z^{2k}\right)}{\left(1-z^{k}\right)}\\ & =\prod_{k=1}^{\infty}\frac{\left(1-z^{2k}\right)}{\left(1-z^{2k-1}\right)\left(1-z^{2k}\right)}\\ & =\prod_{k=1}^{\infty}\frac{1}{1-z^{2k-1}}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}P_{o}\left(k\right)z^{k} \end{align*} となるので\(z\)の係数を比較して、\(P_{d}\left(k\right)=P_{o}\left(k\right)\)となる。