\(\rightarrow\)を\(\Rightarrow\)、\(\leftarrow\)を\(\Leftarrow\)、\(\leftrightarrow\)を\(\Leftrightarrow\)、\(\nrightarrow\)を\(\nRightarrow\)、\(\nleftarrow\)を\(\nLeftarrow\)、\(\nleftrightarrow\)を\(\nLeftrightarrow\)でも表す。

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命題は真か偽かどちらかであれば真偽が不明でもいい。
例えば\(e+\pi\)や\(e\pi\)は有理数か無理数か知られていないので、「\(e+\pi\)は有理数である」という命題は真偽が不明ですが命題となります。

論理演算一覧

論理定数と単項演算子
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline P & Q & \top & \bot & P & Q & \lnot P & \lnot Q\\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ \hline 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ \hline 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\\hline \end{array} \]
論理定数と2項演算子
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline P & Q & P\lor Q & P\land Q & P\rightarrow Q & P\leftarrow Q & P\leftrightarrow Q & P\downarrow Q & P\uparrow Q & P\nrightarrow Q & P\nleftarrow Q & P\nleftrightarrow Q\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ \hline 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\\ \hline 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline \end{array} \]
論理変数と2項演算子
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline P & Q & P\lor Q & P\land Q & P\rightarrow Q & P\leftarrow Q & P\leftrightarrow Q & P\downarrow Q & P\uparrow Q & P\nrightarrow Q & P\nleftarrow Q & P\nleftrightarrow Q\\ \hline A & 0 & A & 0 & \lnot A & 1 & \lnot A & \lnot A & 1 & A & 0 & A\\ \hline A & 1 & 1 & A & 1 & A & A & 0 & \lnot A & 0 & \lnot A & \lnot A\\ \hline 0 & A & A & 0 & 1 & \lnot A & \lnot A & \lnot A & 1 & 0 & A & A\\ \hline 1 & A & 1 & A & A & 1 & A & 0 & \lnot A & \lnot A & 0 & \lnot A\\ \hline \lnot A & \lnot A & \lnot A & \lnot A & 1 & 1 & 1 & A & A & 0 & 0 & 0\\ \hline \lnot A & A & 1 & 0 & A & \lnot A & 0 & 0 & 1 & \lnot A & A & 1\\ \hline A & \lnot A & 1 & 0 & \lnot A & A & 0 & 0 & 1 & A & \lnot A & 1\\ \hline A & A & A & A & 1 & 1 & 1 & \lnot A & \lnot A & 0 & 0 & 0 \\\hline \end{array} \]
2項演算子の否定の別表記
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline L & L & \lnot L & L\lnot & \lnot L\lnot\\ \hline \lor & \lor & \rightarrow & \leftarrow & \uparrow\\ \hline \land & \land & \nleftarrow & \nrightarrow & \downarrow\\ \hline \rightarrow & \lnot\lor & \lor & \uparrow & \leftarrow\\ \hline \leftarrow & \lor\lnot & \uparrow & \lor & \rightarrow\\ \hline \leftrightarrow & \leftrightarrow & \nleftrightarrow & \nleftrightarrow & \leftrightarrow\\ \hline \downarrow & \lnot\land\lnot & \nrightarrow & \nleftarrow & \land\\ \hline \uparrow & \lnot\lor\lnot & \leftarrow & \rightarrow & \lor\\ \hline \nrightarrow & \land\lnot & \downarrow & \land & \nleftarrow\\ \hline \nleftarrow & \lnot\land & \land & \downarrow & \nrightarrow\\ \hline \nleftrightarrow & \nleftrightarrow & \leftrightarrow & \leftrightarrow & \nleftrightarrow \\\hline \end{array} \]
2項演算子と論理回路
\[ \begin{array}{|c|c|} \hline P\lor Q & or\\ \hline P\land Q & and\\ \hline P\rightarrow Q & \\ \hline P\leftarrow Q & \\ \hline P\leftrightarrow Q & xnor\\ \hline P\downarrow Q & nor\\ \hline P\uparrow Q & nand\\ \hline P\nrightarrow Q & \\ \hline P\nleftarrow Q & \\ \hline P\nleftrightarrow Q & xor,xnand \\\hline \end{array} \]