LK推論規則での包含関係
LK推論規則での包含関係
\(P,Q,R,S\)は命題変数とする。
\(P,Q,R,S\)は命題変数とする。
(1)WL,WR
\[ P\rightarrow Q\Rightarrow\left(P\land R\right)\rightarrow\left(Q\lor S\right) \](2)\(\lor L\)
\[ \left(P\rightarrow Q\right)\land\left(R\rightarrow S\right)\Rightarrow\left(P\lor R\right)\rightarrow\left(Q\land S\right) \](3)\(\land R\)
\[ \left(P\rightarrow Q\right)\land\left(R\rightarrow S\right)\Rightarrow\left(P\land R\right)\rightarrow\left(Q\land S\right) \](4)\(\rightarrow L\)
\[ \left(P\rightarrow Q\right)\land\left(R\rightarrow S\right)\Rightarrow\left\{ P\land\left(Q\rightarrow R\right)\right\} \rightarrow S \](5)\(\rightarrow R\)
\[ P\land R\rightarrow S\lor Q\Leftrightarrow P\rightarrow\left\{ S\lor\left(R\rightarrow Q\right)\right\} \](1)
\begin{align*} P\rightarrow Q & \Leftrightarrow\lnot P\lor Q\\ & \Rightarrow\lnot P\lor Q\lor\lnot R\lor S\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\land R\right)\lor\left(Q\lor S\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land R\right)\rightarrow\left(Q\lor S\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \left(P\rightarrow Q\right)\land\left(R\rightarrow S\right) & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor Q\right)\land\left(\lnot R\lor S\right)\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(\lnot P\lor Q\right)\land\lnot R\right\} \lor\left\{ \left(\lnot P\lor Q\right)\land S\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(Q\lor\lnot P\right)\land\lnot R\right\} \lor\left\{ \left(\lnot P\lor Q\right)\land S\right\} \\ & \Rightarrow\left\{ Q\lor\left(\lnot P\land\lnot R\right)\right\} \lor\left\{ \left(\lnot P\lor Q\right)\land S\right\} \\ & \Rightarrow\left\{ Q\lor\left(\lnot P\land\lnot R\right)\right\} \lor S\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land\lnot R\right)\lor Q\lor S\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\lor R\right)\lor Q\lor S\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor R\right)\rightarrow\left(Q\lor S\right) \end{align*}(3)
\begin{align*} \left(P\rightarrow Q\right)\land\left(R\rightarrow S\right) & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor Q\right)\land\left(\lnot R\lor S\right)\\ & \Rightarrow\lnot P\lor\left\{ Q\land\left(\lnot R\lor S\right)\right\} \\ & \Rightarrow\lnot P\lor\lnot R\lor\left(Q\land S\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\land R\right)\lor\left(Q\land S\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land R\right)\rightarrow\left(Q\land S\right) \end{align*}(3)-2
\(\left(P\rightarrow Q\right)\land\left(R\rightarrow S\right)\)が成り立っているので、\begin{align*} P\land R & \Rightarrow Q\land R\\ & \Rightarrow Q\land S \end{align*} となる。
故に
\[ \left(P\rightarrow Q\right)\land\left(R\rightarrow S\right)\Rightarrow\left(P\land R\right)\rightarrow\left(Q\land S\right) \] となる。
(4)
\begin{align*} \left(P\rightarrow Q\right)\land\left(R\rightarrow S\right) & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor Q\right)\land\left(\lnot R\lor S\right)\\ & \Rightarrow\left\{ \left(\lnot P\lor Q\right)\land\lnot R\right\} \lor S\\ & \Rightarrow\left\{ \lnot P\lor\left(Q\land\lnot R\right)\right\} \lor S\\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ P\land\left(\lnot Q\lor R\right)\right\} \lor S\\ & \Leftrightarrow\left\{ P\land\left(Q\rightarrow R\right)\right\} \rightarrow S \end{align*}(5)
\begin{align*} \left(P\land Q\right)\rightarrow\left(R\lor S\right) & \Leftrightarrow P\rightarrow\left(R\lor S\lor\lnot Q\right)\\ & \Leftrightarrow P\rightarrow\left\{ R\lor\left(Q\rightarrow S\right)\right\} \end{align*}ページ情報
| タイトル | LK推論規則での包含関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/mdi4usqi/ |
| SNSボタン |
論理演算同士の関係
\begin{align*}
P\lor Q & \Leftrightarrow\lnot P\uparrow\lnot Q\\
& \Leftrightarrow\lnot P\rightarrow Q\\
& \Leftrightarrow P\leftarrow\lnot Q\\
& \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\\
& \Leftrightarrow\lnot\left(P\downarrow Q\right)\\
& \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\nrightarrow Q\right)\\
& \Leftrightarrow\lnot\left(P\nleftarrow Q\right)
\end{align*}
2引数が同じ3引数の論理演算子
\[
P\lor\left(P\land Q\right)\Leftrightarrow P
\]
量化子(全称命題・存在命題)の順序変更
\[
\exists x\forall y,P\left(x,y\right)\Rightarrow\forall y\exists x,P\left(x,y\right)
\]
論理演算の定義
\[
P\rightarrow Q\Leftrightarrow\lnot P\lor Q
\]