3引数論理演算を別表記
3引数論理演算を別表記
\(P,Q,R\)を命題変数とする。
\(P,Q,R\)を命題変数とする。
(1)
\[ P\lor\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow P\leftarrow\left(Q\downarrow R\right) \](2)
\[ P\lor\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow P\leftarrow\left(Q\uparrow R\right) \](3)
\[ P\lor\left(Q\rightarrow R\right)\Leftrightarrow P\leftarrow\left(Q\nrightarrow R\right) \](4)
\[ P\lor\left(Q\leftarrow R\right)\Leftrightarrow P\leftarrow\left(Q\nleftarrow R\right) \](5)
\[ P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right)\Leftrightarrow P\leftarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) \](6)
\[ P\lor\left(Q\downarrow R\right)\Leftrightarrow P\leftarrow\left(Q\lor R\right) \](7)
\[ P\lor\left(Q\uparrow R\right)\Leftrightarrow P\leftarrow\left(Q\land R\right) \](8)
\[ P\lor\left(Q\nrightarrow R\right)\Leftrightarrow P\leftarrow\left(Q\rightarrow R\right) \](9)
\[ P\lor\left(Q\nleftarrow R\right)\Leftrightarrow P\leftarrow\left(Q\leftarrow R\right) \](10)
\[ P\lor\left(Q\nleftrightarrow R\right)\Leftrightarrow P\leftarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) \](11)
\[ P\land\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow P\nrightarrow\left(Q\downarrow R\right) \](12)
\[ P\land\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow P\nrightarrow\left(Q\uparrow R\right) \](13)
\[ P\land\left(Q\rightarrow R\right)\Leftrightarrow P\nrightarrow\left(Q\nrightarrow R\right) \](14)
\[ P\land\left(Q\leftarrow R\right)\Leftrightarrow P\nrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right) \](15)
\[ P\land\left(Q\leftrightarrow R\right)\Leftrightarrow P\nrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) \](16)
\[ P\land\left(Q\downarrow R\right)\Leftrightarrow P\nrightarrow\left(Q\lor R\right) \](17)
\[ P\land\left(Q\uparrow R\right)\Leftrightarrow P\nrightarrow\left(Q\land R\right) \](18)
\[ P\land\left(Q\nrightarrow R\right)\Leftrightarrow P\nrightarrow\left(Q\rightarrow R\right) \](19)
\[ P\land\left(Q\nleftarrow R\right)\Leftrightarrow P\nrightarrow\left(Q\leftarrow R\right) \](20)
\[ P\land\left(Q\nleftrightarrow R\right)\Leftrightarrow P\nrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) \](21)
\[ P\rightarrow\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow P\uparrow\left(Q\downarrow R\right) \](22)
\[ P\rightarrow\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow P\uparrow\left(Q\uparrow R\right) \](23)
\[ P\rightarrow\left(Q\rightarrow R\right)\Leftrightarrow P\uparrow\left(Q\nrightarrow R\right) \](24)
\[ P\rightarrow\left(Q\leftarrow R\right)\Leftrightarrow P\uparrow\left(Q\nleftarrow R\right) \](25)
\[ P\rightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right)\Leftrightarrow P\uparrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) \](26)
\[ P\rightarrow\left(Q\downarrow R\right)\Leftrightarrow P\uparrow\left(Q\lor R\right) \](27)
\[ P\rightarrow\left(Q\uparrow R\right)\Leftrightarrow P\uparrow\left(Q\land R\right) \](28)
\[ P\rightarrow\left(Q\nrightarrow R\right)\Leftrightarrow P\uparrow\left(Q\rightarrow R\right) \](29)
\[ P\rightarrow\left(Q\nleftarrow R\right)\Leftrightarrow P\uparrow\left(Q\leftarrow R\right) \](30)
\[ P\rightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right)\Leftrightarrow P\uparrow\left(Q\leftrightarrow R\right) \](31)
\[ P\leftarrow\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow P\lor\left(Q\downarrow R\right) \](32)
\[ P\leftarrow\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow P\lor\left(Q\uparrow R\right) \](33)
\[ P\leftarrow\left(Q\rightarrow R\right)\Leftrightarrow P\lor\left(Q\nrightarrow R\right) \](34)
\[ P\leftarrow\left(Q\leftarrow R\right)\Leftrightarrow P\lor\left(Q\nleftarrow R\right) \](35)
\[ P\leftarrow\left(Q\leftrightarrow R\right)\Leftrightarrow P\lor\left(Q\nleftrightarrow R\right) \](36)
\[ P\leftarrow\left(Q\downarrow R\right)\Leftrightarrow P\lor\left(Q\lor R\right) \](37)
\[ P\leftarrow\left(Q\uparrow R\right)\Leftrightarrow P\lor\left(Q\land R\right) \](38)
\[ P\leftarrow\left(Q\nrightarrow R\right)\Leftrightarrow P\lor\left(Q\rightarrow R\right) \](39)
\[ P\leftarrow\left(Q\nleftarrow R\right)\Leftrightarrow P\lor\left(Q\leftarrow R\right) \](40)
\[ P\leftarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right)\Leftrightarrow P\lor\left(Q\nleftrightarrow R\right) \](41)
\[ P\leftrightarrow\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow P\nleftrightarrow\left(Q\downarrow R\right) \](42)
\[ P\leftrightarrow\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow P\nleftrightarrow\left(Q\uparrow R\right) \](43)
\[ P\leftrightarrow\left(Q\rightarrow R\right)\Leftrightarrow P\nleftrightarrow\left(Q\nrightarrow R\right) \](44)
\[ P\leftrightarrow\left(Q\leftarrow R\right)\Leftrightarrow P\nleftrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right) \](45)
\[ P\leftrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right)\Leftrightarrow P\nleftrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) \](45)
\[ P\leftrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right)\Leftrightarrow P\nleftrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) \](46)
\[ P\leftrightarrow\left(Q\downarrow R\right)\Leftrightarrow P\nleftrightarrow\left(Q\lor R\right) \](47)
\[ P\leftrightarrow\left(Q\uparrow R\right)\Leftrightarrow P\nleftrightarrow\left(Q\land R\right) \](48)
\[ P\leftrightarrow\left(Q\nrightarrow R\right)\Leftrightarrow P\nleftrightarrow\left(Q\rightarrow R\right) \](49)
\[ P\leftrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right)\Leftrightarrow P\nleftrightarrow\left(Q\leftarrow R\right) \](50)
\[ P\leftrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right)\Leftrightarrow P\nleftrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) \](51)
\[ P\downarrow\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow P\nleftarrow\left(Q\downarrow R\right) \](52)
\[ P\downarrow\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow P\nleftarrow\left(Q\uparrow R\right) \](53)
\[ P\downarrow\left(Q\rightarrow R\right)\Leftrightarrow P\nleftarrow\left(Q\nrightarrow R\right) \](54)
\[ P\downarrow\left(Q\leftarrow R\right)\Leftrightarrow P\nleftarrow\left(Q\nleftarrow R\right) \](55)
\[ P\downarrow\left(Q\leftrightarrow R\right)\Leftrightarrow P\nleftarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) \](56)
\[ P\downarrow\left(Q\downarrow R\right)\Leftrightarrow P\nleftarrow\left(Q\lor R\right) \](57)
\[ P\downarrow\left(Q\uparrow R\right)\Leftrightarrow P\nleftarrow\left(Q\land R\right) \](58)
\[ P\downarrow\left(Q\nrightarrow R\right)\Leftrightarrow P\nleftarrow\left(Q\rightarrow R\right) \](59)
\[ P\downarrow\left(Q\nleftarrow R\right)\Leftrightarrow P\nleftarrow\left(Q\leftarrow R\right) \](60)
\[ P\downarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right)\Leftrightarrow P\nleftarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) \](61)
\[ P\uparrow\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow P\rightarrow\left(Q\downarrow R\right) \](62)
\[ P\uparrow\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow P\rightarrow\left(Q\uparrow R\right) \](63)
\[ P\uparrow\left(Q\rightarrow R\right)\Leftrightarrow P\rightarrow\left(Q\nrightarrow R\right) \](64)
\[ P\uparrow\left(Q\leftarrow R\right)\Leftrightarrow P\rightarrow\left(Q\nleftarrow R\right) \](65)
\[ P\uparrow\left(Q\leftrightarrow R\right)\Leftrightarrow P\rightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) \](66)
\[ P\uparrow\left(Q\downarrow R\right)\Leftrightarrow P\rightarrow\left(Q\lor R\right) \](67)
\[ P\uparrow\left(Q\uparrow R\right)\Leftrightarrow P\rightarrow\left(Q\land R\right) \](68)
\[ P\uparrow\left(Q\nrightarrow R\right)\Leftrightarrow P\rightarrow\left(Q\rightarrow R\right) \](69)
\[ P\uparrow\left(Q\nleftarrow R\right)\Leftrightarrow P\rightarrow\left(Q\leftarrow R\right) \](70)
\[ P\uparrow\left(Q\nleftrightarrow R\right)\Leftrightarrow P\rightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) \](71)
\[ P\nrightarrow\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow P\land\left(Q\downarrow R\right) \](72)
\[ P\nrightarrow\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow P\land\left(Q\uparrow R\right) \](73)
\[ P\nrightarrow\left(Q\rightarrow R\right)\Leftrightarrow P\land\left(Q\nrightarrow R\right) \](74)
\[ P\nrightarrow\left(Q\leftarrow R\right)\Leftrightarrow P\land\left(Q\nleftarrow R\right) \](75)
\[ P\nrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right)\Leftrightarrow P\land\left(Q\nleftrightarrow R\right) \](76)
\[ P\nrightarrow\left(Q\downarrow R\right)\Leftrightarrow P\land\left(Q\lor R\right) \](77)
\[ P\nrightarrow\left(Q\uparrow R\right)\Leftrightarrow P\land\left(Q\land R\right) \](78)
\[ P\nrightarrow\left(Q\nrightarrow R\right)\Leftrightarrow P\land\left(Q\rightarrow R\right) \](79)
\[ P\nrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right)\Leftrightarrow P\land\left(Q\leftarrow R\right) \](80)
\[ P\nrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right)\Leftrightarrow P\land\left(Q\leftrightarrow R\right) \](81)
\[ P\nleftarrow\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow P\downarrow\left(Q\downarrow R\right) \](82)
\[ P\nleftarrow\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow P\downarrow\left(Q\uparrow R\right) \](83)
\[ P\nleftarrow\left(Q\rightarrow R\right)\Leftrightarrow P\downarrow\left(Q\nrightarrow R\right) \](84)
\[ P\nleftarrow\left(Q\leftarrow R\right)\Leftrightarrow P\downarrow\left(Q\nleftarrow R\right) \](85)
\[ P\nleftarrow\left(Q\leftrightarrow R\right)\Leftrightarrow P\downarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) \](86)
\[ P\nleftarrow\left(Q\downarrow R\right)\Leftrightarrow P\downarrow\left(Q\lor R\right) \](87)
\[ P\nleftarrow\left(Q\uparrow R\right)\Leftrightarrow P\downarrow\left(Q\land R\right) \](88)
\[ P\nleftarrow\left(Q\nrightarrow R\right)\Leftrightarrow P\downarrow\left(Q\rightarrow R\right) \](89)
\[ P\nleftarrow\left(Q\nleftarrow R\right)\Leftrightarrow P\downarrow\left(Q\leftarrow R\right) \](90)
\[ P\nleftarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right)\Leftrightarrow P\downarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) \](91)
\[ P\nleftrightarrow\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\downarrow R\right) \](92)
\[ P\nleftrightarrow\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\uparrow R\right) \](93)
\[ P\nleftrightarrow\left(Q\rightarrow R\right)\Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\nrightarrow R\right) \](94)
\[ P\nleftrightarrow\left(Q\leftarrow R\right)\Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right) \](95)
\[ P\nleftrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right)\Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) \](96)
\[ P\nleftrightarrow\left(Q\downarrow R\right)\Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\lor R\right) \](97)
\[ P\nleftrightarrow\left(Q\uparrow R\right)\Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\land R\right) \](98)
\[ P\nleftrightarrow\left(Q\nrightarrow R\right)\Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\rightarrow R\right) \](99)
\[ P\nleftrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right)\Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\leftarrow R\right) \](100)
\[ P\nleftrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right)\Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) \](1)
\begin{align*} P\lor\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(Q\downarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\leftarrow\left(Q\downarrow R\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} P\lor\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(Q\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\leftarrow\left(Q\uparrow R\right) \end{align*}(3)
\begin{align*} P\lor\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(Q\nrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\leftarrow\left(Q\nrightarrow R\right) \end{align*}(4)
\begin{align*} P\lor\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(Q\nleftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\leftarrow\left(Q\nleftarrow R\right) \end{align*}(5)
\begin{align*} P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(Q\nleftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\leftarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) \end{align*}(6)
\begin{align*} P\lor\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow P\leftarrow\left(Q\lor R\right) \end{align*}(7)
\begin{align*} P\lor\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow P\leftarrow\left(Q\land R\right) \end{align*}(8)
\begin{align*} P\lor\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(Q\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\leftarrow\left(Q\rightarrow R\right) \end{align*}(9)
\begin{align*} P\lor\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(Q\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\leftarrow\left(Q\leftarrow R\right) \end{align*}(10)
\begin{align*} P\lor\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\leftarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) \end{align*}(11)
\begin{align*} P\land\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot\left(Q\downarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\nrightarrow\left(Q\downarrow R\right) \end{align*}(12)
\begin{align*} P\land\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot\left(Q\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\nrightarrow\left(Q\uparrow R\right) \end{align*}(13)
\begin{align*} P\land\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot\left(Q\nrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\nrightarrow\left(Q\nrightarrow R\right) \end{align*}(14)
\begin{align*} P\land\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot\left(Q\nleftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\nrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right) \end{align*}(15)
\begin{align*} P\land\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot\left(Q\nleftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\nrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) \end{align*}(16)
\begin{align*} P\land\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow P\nrightarrow\left(Q\lor R\right) \end{align*}(17)
\begin{align*} P\land\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow P\nrightarrow\left(Q\land R\right) \end{align*}(18)
\begin{align*} P\land\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot\left(Q\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\nrightarrow\left(Q\rightarrow R\right) \end{align*}(19)
\begin{align*} P\land\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot\left(Q\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\nrightarrow\left(Q\leftarrow R\right) \end{align*}(20)
\begin{align*} P\land\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\land\lnot\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\nrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) \end{align*}(21)
\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow P\rightarrow\lnot\left(Q\downarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(Q\downarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\uparrow\left(Q\downarrow R\right) \end{align*}(22)
\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow P\rightarrow\lnot\left(Q\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(Q\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\uparrow\left(Q\uparrow R\right) \end{align*}(23)
\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\rightarrow\lnot\left(Q\nrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(Q\nrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\uparrow\left(Q\nrightarrow R\right) \end{align*}(24)
\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\rightarrow\lnot\left(Q\nleftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(Q\nleftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\uparrow\left(Q\nleftarrow R\right) \end{align*}(25)
\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\rightarrow\lnot\left(Q\nleftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(Q\nleftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\uparrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) \end{align*}(26)
\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow P\rightarrow\lnot\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow P\uparrow\left(Q\lor R\right) \end{align*}(27)
\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow P\rightarrow\lnot\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow P\uparrow\left(Q\land R\right) \end{align*}(28)
\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\rightarrow\lnot\left(Q\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(Q\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\uparrow\left(Q\rightarrow R\right) \end{align*}(29)
\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\rightarrow\lnot\left(Q\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(Q\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\uparrow\left(Q\leftarrow R\right) \end{align*}(30)
\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\rightarrow\lnot\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\uparrow\left(Q\leftrightarrow R\right) \end{align*}(31)
\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow P\leftarrow\lnot\left(Q\downarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\downarrow R\right) \end{align*}(32)
\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow P\leftarrow\lnot\left(Q\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\uparrow R\right) \end{align*}(33)
\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftarrow\lnot\left(Q\nrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\nrightarrow R\right) \end{align*}(34)
\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftarrow\lnot\left(Q\nleftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\nleftarrow R\right) \end{align*}(35)
\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftarrow\lnot\left(Q\nleftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\nleftrightarrow R\right) \end{align*}(36)
\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftarrow\lnot\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\lor R\right) \end{align*}(37)
\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftarrow\lnot\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\land R\right) \end{align*}(38)
\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftarrow\lnot\left(Q\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\rightarrow R\right) \end{align*}(39)
\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftarrow\lnot\left(Q\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\leftarrow R\right) \end{align*}(40)
\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftarrow\lnot\left(Q\nleftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\nleftrightarrow R\right) \end{align*}(41)
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\lnot\left(Q\downarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\nleftrightarrow\left(Q\downarrow R\right) \end{align*}(42)
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\lnot\left(Q\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\nleftrightarrow\left(Q\uparrow R\right) \end{align*}(43)
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\lnot\left(Q\nrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\nleftrightarrow\left(Q\nrightarrow R\right) \end{align*}(44)
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\lnot\left(Q\nleftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\nleftrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right) \end{align*}(45)
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\lnot\left(Q\nleftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\nleftrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) \end{align*}(45)
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\lnot\left(Q\nleftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\nleftrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) \end{align*}(46)
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\lnot\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow P\nleftrightarrow\left(Q\lor R\right) \end{align*}(47)
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\lnot\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow P\nleftrightarrow\left(Q\land R\right) \end{align*}(48)
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\lnot\left(Q\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\nleftrightarrow\left(Q\rightarrow R\right) \end{align*}(49)
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\lnot\left(Q\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\nleftrightarrow\left(Q\leftarrow R\right) \end{align*}(50)
\begin{align*} P\leftrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\lnot\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\nleftrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) \end{align*}(51)
\begin{align*} P\downarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow P\downarrow\lnot\left(Q\downarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\downarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\nleftarrow\left(Q\downarrow R\right) \end{align*}(52)
\begin{align*} P\downarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow P\downarrow\lnot\left(Q\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\nleftarrow\left(Q\uparrow R\right) \end{align*}(53)
\begin{align*} P\downarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\downarrow\lnot\left(Q\nrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\nrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\nleftarrow\left(Q\nrightarrow R\right) \end{align*}(54)
\begin{align*} P\downarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\downarrow\lnot\left(Q\nleftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\nleftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\nleftarrow\left(Q\nleftarrow R\right) \end{align*}(55)
\begin{align*} P\downarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\downarrow\lnot\left(Q\nleftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\nleftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\nleftarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) \end{align*}(56)
\begin{align*} P\downarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow P\downarrow\lnot\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow P\nleftarrow\left(Q\lor R\right) \end{align*}(57)
\begin{align*} P\downarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow P\downarrow\lnot\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow P\nleftarrow\left(Q\land R\right) \end{align*}(58)
\begin{align*} P\downarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\downarrow\lnot\left(Q\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\nleftarrow\left(Q\rightarrow R\right) \end{align*}(59)
\begin{align*} P\downarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\downarrow\lnot\left(Q\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\nleftarrow\left(Q\leftarrow R\right) \end{align*}(60)
\begin{align*} P\downarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\downarrow\lnot\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\nleftarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) \end{align*}(61)
\begin{align*} P\uparrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow P\uparrow\lnot\left(Q\downarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\downarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\rightarrow\left(Q\downarrow R\right) \end{align*}(62)
\begin{align*} P\uparrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow P\uparrow\lnot\left(Q\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\rightarrow\left(Q\uparrow R\right) \end{align*}(63)
\begin{align*} P\uparrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\uparrow\lnot\left(Q\nrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\nrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\rightarrow\left(Q\nrightarrow R\right) \end{align*}(64)
\begin{align*} P\uparrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\uparrow\lnot\left(Q\nleftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\nleftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\rightarrow\left(Q\nleftarrow R\right) \end{align*}(65)
\begin{align*} P\uparrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\uparrow\lnot\left(Q\nleftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\nleftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\rightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) \end{align*}(66)
\begin{align*} P\uparrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow P\uparrow\lnot\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow P\rightarrow\left(Q\lor R\right) \end{align*}(67)
\begin{align*} P\uparrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow P\uparrow\lnot\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow P\rightarrow\left(Q\land R\right) \end{align*}(68)
\begin{align*} P\uparrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\uparrow\lnot\left(Q\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\rightarrow\left(Q\rightarrow R\right) \end{align*}(69)
\begin{align*} P\uparrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\uparrow\lnot\left(Q\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\rightarrow\left(Q\leftarrow R\right) \end{align*}(70)
\begin{align*} P\uparrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\uparrow\lnot\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\rightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) \end{align*}(71)
\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow P\nrightarrow\lnot\left(Q\downarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\land\left(Q\downarrow R\right) \end{align*}(72)
\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow P\nrightarrow\lnot\left(Q\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\land\left(Q\uparrow R\right) \end{align*}(73)
\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\nrightarrow\lnot\left(Q\nrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\land\left(Q\nrightarrow R\right) \end{align*}(74)
\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\nrightarrow\lnot\left(Q\nleftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\land\left(Q\nleftarrow R\right) \end{align*}(75)
\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\nrightarrow\lnot\left(Q\nleftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\land\left(Q\nleftrightarrow R\right) \end{align*}(76)
\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow P\nrightarrow\lnot\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow P\land\left(Q\lor R\right) \end{align*}(77)
\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow P\nrightarrow\lnot\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow P\land\left(Q\land R\right) \end{align*}(78)
\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\nrightarrow\lnot\left(Q\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\land\left(Q\rightarrow R\right) \end{align*}(79)
\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\nrightarrow\lnot\left(Q\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\land\left(Q\leftarrow R\right) \end{align*}(80)
\begin{align*} P\nrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\nrightarrow\lnot\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\land\left(Q\leftrightarrow R\right) \end{align*}(81)
\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow P\nleftarrow\lnot\left(Q\downarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\downarrow\left(Q\downarrow R\right) \end{align*}(82)
\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow P\nleftarrow\lnot\left(Q\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\downarrow\left(Q\uparrow R\right) \end{align*}(83)
\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\nleftarrow\lnot\left(Q\nrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\downarrow\left(Q\nrightarrow R\right) \end{align*}(84)
\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\nleftarrow\lnot\left(Q\nleftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\downarrow\left(Q\nleftarrow R\right) \end{align*}(85)
\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\nleftarrow\lnot\left(Q\nleftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\downarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) \end{align*}(86)
\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow P\nleftarrow\lnot\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow P\downarrow\left(Q\lor R\right) \end{align*}(87)
\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow P\nleftarrow\lnot\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow P\downarrow\left(Q\land R\right) \end{align*}(88)
\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\nleftarrow\lnot\left(Q\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\downarrow\left(Q\rightarrow R\right) \end{align*}(89)
\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\nleftarrow\lnot\left(Q\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\downarrow\left(Q\leftarrow R\right) \end{align*}(90)
\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\nleftarrow\lnot\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\downarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) \end{align*}(91)
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow P\nleftrightarrow\lnot\left(Q\downarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\downarrow R\right) \end{align*}(92)
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow P\nleftrightarrow\lnot\left(Q\uparrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\uparrow R\right) \end{align*}(93)
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\rightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\nleftrightarrow\lnot\left(Q\nrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\nrightarrow R\right) \end{align*}(94)
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\leftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\nleftrightarrow\lnot\left(Q\nleftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right) \end{align*}(95)
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\nleftrightarrow\lnot\left(Q\nleftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) \end{align*}(96)
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\downarrow R\right) & \Leftrightarrow P\nleftrightarrow\lnot\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\lor R\right) \end{align*}(97)
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\uparrow R\right) & \Leftrightarrow P\nleftrightarrow\lnot\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\land R\right) \end{align*}(98)
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\nrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\nleftrightarrow\lnot\left(Q\rightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\rightarrow R\right) \end{align*}(99)
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\nleftarrow R\right) & \Leftrightarrow P\nleftrightarrow\lnot\left(Q\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\leftarrow R\right) \end{align*}(100)
\begin{align*} P\nleftrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\nleftrightarrow\lnot\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) \end{align*}ページ情報
| タイトル | 3引数論理演算を別表記 |
| URL | https://www.nomuramath.com/s0zurjn4/ |
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論理演算の定義
\[
P\rightarrow Q\Leftrightarrow\lnot P\lor Q
\]
結合法則一覧
\[
P\leftrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftrightarrow Q\right)\leftrightarrow R
\]
存在命題(論理和)と全称命題(論理積)の順序変更
\[
\exists x\in X,\forall y\in Y,P\left(x,y\right)\Rightarrow\forall y\in Y,\exists x\in X,P\left(x,y\right)
\]
否定同値の否定同値は同値の同値
\[
P\nleftrightarrow Q\nleftrightarrow R\Leftrightarrow P\leftrightarrow Q\leftrightarrow R
\]